scilab/modules/differential_equations/help/ja_JP/ode.xml

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   4         <refname>ode</refname>
   5         <refpurpose>常微分方程式ソルバ</refpurpose>
   6     </refnamediv>
   7     <refsynopsisdiv>
   8         <title>呼び出し手順</title>
   9         <synopsis>y=ode(y0,t0,t,f)
  10             [y,w,iw]=ode([type],y0,t0,t [,rtol [,atol]],f [,jac] [,w,iw])
  11             [y,rd,w,iw]=ode("root",y0,t0,t [,rtol [,atol]],f [,jac],ng,g [,w,iw])
  12             y=ode("discrete",y0,k0,kvect,f)
  13         </synopsis>
  14     </refsynopsisdiv>
  15     <refsection>
  16         <title>パラメータ</title>
  17         <variablelist>
  18             <varlistentry>
  19                 <term>y0</term>
  20                 <listitem>
  21                     <para>実数ベクトルまたは行列 (初期条件).</para>
  22                 </listitem>
  23             </varlistentry>
  24             <varlistentry>
  25                 <term>t0</term>
  26                 <listitem>
  27                     <para>実数スカラー (初期時間).</para>
  28                 </listitem>
  29             </varlistentry>
  30             <varlistentry>
  31                 <term>t</term>
  32                 <listitem>
  33                     <para>実数ベクトル (解を計算する時間).</para>
  34                 </listitem>
  35             </varlistentry>
  36             <varlistentry>
  37                 <term>f</term>
  38                 <listitem>
  39                     <para>外部 (関数または文字列またはリスト).</para>
  40                 </listitem>
  41             </varlistentry>
  42             <varlistentry>
  43                 <term>type</term>
  44                 <listitem>
  45                     <para>
  46                         以下の文字列のどれか: <literal>"adams"</literal>,
  47                         <literal>"stiff"</literal>, <literal>"rk"</literal>,
  48                         <literal>"rkf"</literal>, <literal>"fix"</literal>,
  49                         <literal>"discrete"</literal>, <literal>"roots"</literal>.
  50                     </para>
  51                 </listitem>
  52             </varlistentry>
  53             <varlistentry>
  54                 <term>rtol, atol</term>
  55                 <listitem>
  56                     <para>
  57                         実数定数または<literal>y</literal>と同じ大きさの実数ベクトル.
  58                     </para>
  59                 </listitem>
  60             </varlistentry>
  61             <varlistentry>
  62                 <term>jac</term>
  63                 <listitem>
  64                     <para>外部 (関数または文字列またはリスト).</para>
  65                 </listitem>
  66             </varlistentry>
  67             <varlistentry>
  68                 <term>w, iw</term>
  69                 <listitem>
  70                     <para>実数ベクトル.</para>
  71                 </listitem>
  72             </varlistentry>
  73             <varlistentry>
  74                 <term>ng</term>
  75                 <listitem>
  76                     <para>整数.</para>
  77                 </listitem>
  78             </varlistentry>
  79             <varlistentry>
  80                 <term>g</term>
  81                 <listitem>
  82                     <para>外部 (関数または文字列またはリスト).</para>
  83                 </listitem>
  84             </varlistentry>
  85             <varlistentry>
  86                 <term>k0</term>
  87                 <listitem>
  88                     <para>整数 (初期時間).</para>
  89                 </listitem>
  90             </varlistentry>
  91             <varlistentry>
  92                 <term>kvect</term>
  93                 <listitem>
  94                     <para>整数ベクトル.</para>
  95                 </listitem>
  96             </varlistentry>
  97         </variablelist>
  98     </refsection>
  99     <refsection>
 100         <title>説明</title>
 101         <para>
 102             <literal>ode</literal> は,dy/dt=f(t,y) , y(t0)=y0で定義された
 103             明示的なODEシステムを解くための標準関数です.
 104             この関数は,種々のソルバ,特に ODEPACKへのインターフェイスです.
 105             解く問題の型と使用される手法は最初のオプション引数<literal>type</literal>
 106             の値に依存します.
 107             <literal>type</literal>は,以下の文字列のどれかになります:
 108         </para>
 109         <variablelist>
 110             <varlistentry>
 111                 <term>&lt;not given&gt;:</term>
 112                 <listitem>
 113                     <para>
 114                         パッケージODEPACKの<literal>lsoda</literal> ソルバが
 115                         デフォルトでコールされます.
 116                         このソルバは非スティッフな問題用の予測子/修正子 Adams 法とスティッフな問題用の
 117                         後退差分法(BDF)を自動的に選択します.
 118                         まず非スティッフな手法が使用され,使用する手法を
 119                         決定するためにデータを動的にモニタします.
 120                     </para>
 121                 </listitem>
 122             </varlistentry>
 123             <varlistentry>
 124                 <term>"adams":</term>
 125                 <listitem>
 126                     <para>これは非スティッフな問題用です. ODEPACKパッケージの
 127                         <literal>lsode</literal> ソルバがコールされ, この関数は
 128                         Adams法を使用します.
 129                     </para>
 130                 </listitem>
 131             </varlistentry>
 132             <varlistentry>
 133                 <term>"stiff":</term>
 134                 <listitem>
 135                     <para>これはスティッフな問題用です. ODEPACKパッケージの
 136                         <literal>lsode</literal> ソルバがコールされ, BDF法が使用されます.
 137                     </para>
 138                 </listitem>
 139             </varlistentry>
 140             <varlistentry>
 141                 <term>"rk":</term>
 142                 <listitem>
 143                     <para>4次の適応型 Runge-Kutta (RK4) 法.</para>
 144                 </listitem>
 145             </varlistentry>
 146             <varlistentry>
 147                 <term>"rkf":</term>
 148                 <listitem>
 149                     <para>
 150                         Fehlbergの4次と5次の Runge-Kutta法に基づくShampine および Wattsのプログラム
 151                         (RKF45) が使用されます.
 152                         この方法は非スティッフおよびややスティッフな問題用で,
 153                         微係数の評価コストが低い場合に適しています.
 154                         この手法は一般にユーザが高い精度を望む場合には使用するべきではありません.
 155                     </para>
 156                 </listitem>
 157             </varlistentry>
 158             <varlistentry>
 159                 <term>"fix":</term>
 160                 <listitem>
 161                     <para>
 162                         <literal>"rkf"</literal>と同じソルバですがユーザインターフェイスが非常にシンプルで,
 163                         <literal>rtol</literal> および <literal>atol</literal>パラメータのみを
 164                         ソルバに指定することが可能です.
 165                         この手法は使用できる中で最も簡単な手法です.
 166                     </para>
 167                 </listitem>
 168             </varlistentry>
 169             <varlistentry>
 170                 <term>"root":</term>
 171                 <listitem>
 172                     <para>解を得る機能を有するODE ソルバ. ODEPACKパッケージの
 173                         <literal>lsodar</literal> ソルバが使用されます.
 174                         使用されているのは<literal>lsoda</literal> ソルバを改変したもので,
 175                         指定したベクトル関数の根を見つけることができます.
 176                         詳細は <link linkend="ode_root">ode_root</link> のヘルプを参照してください.
 177                     </para>
 178                 </listitem>
 179             </varlistentry>
 180             <varlistentry>
 181                 <term>"discrete":</term>
 182                 <listitem>
 183                     <para>
 184                         離散時間シミュレーション. 詳細は <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link> のヘルプを参照してください.
 185                     </para>
 186                 </listitem>
 187             </varlistentry>
 188         </variablelist>
 189         <para>
 190             このヘルプでは,標準的な陽のODEシステムに関する<literal>ode</literal>
 191             の使用法のみについて記述します.
 192         </para>
 193         <itemizedlist>
 194             <listitem>
 195                 <para>
 196                     <literal>ode</literal>の最も簡単なコールは次のようになります:
 197                     <literal>y=ode(y0,t0,t,f)</literal> ただし <literal>y0</literal> は
 198                     初期条件のベクトル,<literal>t0</literal> は初期時間,
 199                     <literal>t</literal> は解<literal>y</literal>を計算する時間のベクトル,
 200                     <literal>y</literal>は解ベクトルの行列<literal>y=[y(t(1)),y(t(2)),...]</literal>
 201                     です.
 202                 </para>
 203                 <para>
 204                     入力引数 <literal>f</literal> は1次微分方程式
 205                     dy/dt=f(t,y)のRHSを定義します.
 206                     これは外部,すなわち指定した構文の関数または指定したコール手続きを
 207                     有するFortranサブルーチンまたはC関数の名前(文字列),またはリストです:
 208                 </para>
 209                 <itemizedlist>
 210                     <listitem>
 211                         <para>
 212                             <literal>f</literal> が Scilab 関数の場合,
 213                             その構文は <literal>ydot = f(t,y)</literal>となります.
 214                             ただし,<literal>t</literal>は実数スカラー(時間),
 215                             <literal>y</literal> は実数ベクトル (状態量),
 216                             <literal>ydot</literal>は実数ベクトル (dy/dt)です.
 217                         </para>
 218                     </listitem>
 219                     <listitem>
 220                         <para>
 221                             <literal>f</literal> が文字列の場合,
 222                             FortranサブルーチンまたはC関数の名前が参照されます.
 223                             すなわち,<literal>ode(y0,t0,t,"fex")</literal>がコマンドの
 224                             場合,サブルーチン<literal>fex</literal>がコールされます.
 225                         </para>
 226                         <para>Fortranルーチンは以下の呼び出し手順とする
 227                             必要があります: <literal>fex(n,t,y,ydot)</literal>,
 228                             ただし n は整数, t は倍精度実数, y と ydot は倍精度ベクトルです.
 229                         </para>
 230                         <para>C 関数は以下のプロトタイプとする必要があります:
 231                             <literal>fex(int *n,double *t,double *y,double
 232                                 *ydot)
 233                             </literal>
 234                         </para>
 235                         <para>
 236                             <literal>t</literal> は時間, <literal>y</literal> は
 237                             状態量, <literal>ydot</literal>は状態量の微分
 238                             (dy/dt)です.
 239                         </para>
 240                         <para>This external can be build in a OS independant way using
 241                             <link linkend="ilib_for_link">ilib_for_link</link> and dynamically
 242                             linked to Scilab by the <link linkend="link">link</link>
 243                             function.
 244                         </para>
 245                     </listitem>
 246                     <listitem>
 247                         <para>
 248                             引数<literal>f</literal> は以下の構造を有するリストと
 249                             することもできます:
 250                             <literal>lst=list(realf,u1,u2,...un)</literal> ただし,
 251                             <literal>realf</literal> は次の構文を有するScilab関数です:
 252                             <literal>ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)</literal>
 253                         </para>
 254                         <para>この構文により
 255                             <literal>realf</literal>の引数にパラメータを使用することができます.
 256                         </para>
 257                     </listitem>
 258                 </itemizedlist>
 259                 <para>
 260                     関数 <literal>f</literal> はベクトルではなく <literal>p x
 261                         q
 262                     </literal>
 263                     の行列を返すことができます. この行列表記により,
 264                     <literal>n=p+q</literal> 次のODEシステム<literal>dY/dt=F(t,Y)</literal>
 265                     を解きます.
 266                     ただし, <literal>Y</literal>は <literal>p x q</literal>の行列です.
 267                     初期条件 <literal>Y0</literal>も<literal>p x q</literal>の行列
 268                     である必要があり, <literal>ode</literal>の結果は <literal>p x
 269                         q(T+1)
 270                     </literal>
 271                     の行列 <literal>[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]</literal>
 272                     となります.
 273                 </para>
 274             </listitem>
 275             <listitem>
 276                 <para>オプションの入力パラメータとして次の
 277                     解の誤差を指定できます:
 278                     相対および絶対推定誤差の閾値である
 279                     <literal>rtol</literal> および <literal>atol</literal>.
 280                     <literal>y(i)</literal>の指定誤差は次のようになります:
 281                     <literal>rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)</literal>
 282                 </para>
 283                 <para>そして,状態量の全ての要素に関してこの誤差が小さい場合,
 284                     積分が行われます.
 285                     <literal>rtol</literal> または
 286                     <literal>atol</literal> が一つの定数の場合, <literal>rtol(i)</literal>
 287                     および <literal>atol(i)</literal> はこの定数の値に設定されます.
 288                     <literal>rtol</literal> および <literal>atol</literal>のデフォルト値は
 289                     多くのソルバではそれぞれ<literal>rtol=1.d-5</literal> および
 290                     <literal>atol=1.d-7</literal>,
 291                     <literal>"rfk"</literal> および <literal>"fix"</literal>では
 292                     <literal>rtol=1.d-3</literal> および <literal>atol=1.d-4</literal>です.
 293                 </para>
 294             </listitem>
 295             <listitem>
 296                 <para>スティッフな問題の場合, RHS関数のヤコビアンを
 297                     オプションの引数<literal>jac</literal>として
 298                     指定する方が良いでしょう.
 299                     これは,外部,すなわち,指定された構文を有する関数,
 300                     または指定した呼び出し手順を有するFortranサブルーチンまたは
 301                     C関数の名前(文字列),またはリストです.
 302                 </para>
 303                 <para>
 304                     <literal>jac</literal> が関数の場合,
 305                     構文は
 306                     <literal>J=jac(t,y)</literal>とする必要があります.
 307                 </para>
 308                 <para>
 309                     ただし, <literal>t</literal> は実数スカラー (時間)および
 310                     <literal>y</literal> 実数ベクトル (状態量). 結果の行列
 311                     <literal>J</literal> は df/dx を評価する必要があります.
 312                     ただし, <literal>J(k,i) =dfk/dxi</literal> で <literal>fk</literal> は
 313                     fのk番目の要素です.
 314                 </para>
 315                 <para>
 316                     <literal>jac</literal> は文字列で,
 317                     FortranサブルーチンまたはC関数の名前を指し,
 318                     以下の呼び出し手順となります:
 319                 </para>
 320                 <para>Fortranの場合:</para>
 321                 <programlisting role=""><![CDATA[
 322 subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)
 323 integer n,ml,mu,nrpd
 324 double precision t,y(*),J(*)
 325  ]]></programlisting>
 326                 <para>Cの場合:</para>
 327                 <programlisting role=""><![CDATA[
 328 void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)
 329  ]]></programlisting>
 330                 <para>
 331                     <literal>jac(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)</literal>. 多くの場合,
 332                     <literal>ml</literal>,<literal>mu</literal>および
 333                     <literal>nrpd</literal>を参照するべきではありません.
 334                 </para>
 335                 <para>
 336                     <literal>jac</literal> がリストの場合,
 337                     <literal>f</literal>と同じ同じ構文が適用されます.
 338                 </para>
 339             </listitem>
 340             <listitem>
 341                 <para>
 342                     オプションの引数 <literal>w</literal> および
 343                     <literal>iw</literal> は積分ルーチンにより返される情報を
 344                     保存するベクトルです(詳細は<link linkend="ode_optional_output">ode_optional_output</link> 参照).
 345                     これらのベクトルが<literal>ode</literal>のRHSで提供される場合,
 346                     積分は前回の停止時と同じパラメータで再開されます.
 347                 </para>
 348             </listitem>
 349             <listitem>
 350                 <para>
 351                     より多くのオプションを<literal>%ODEOPTIONS</literal>変数
 352                     によりODEPACKソルバに指定することができます.
 353                     <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>を参照ください.
 354                 </para>
 355             </listitem>
 356         </itemizedlist>
 357     </refsection>
 358     <refsection>
 359         <title>例</title>
 360         <programlisting role="example"><![CDATA[
 361 // ---------- Simple one dimension ODE (Scilab function external)
 362 // dy/dt=y^2-y sin(t)+cos(t), y(0)=0
 363 function ydot=f(t,y),ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t),endfunction
 364 y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
 365 y=ode(y0,t0,t,f)
 366 plot(t,y)
 367
 368 // ---------- Simple one dimension ODE (C coded external)
 369 ccode=['#include <math.h>'
 370        'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
 371        '{'
 372        '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
 373        '}']
 374 mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') //create the C file
 375 ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',[],TMPDIR+'/loader.sce');//compile
 376 exec(TMPDIR+'/loader.sce') //incremental linking
 377 y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
 378 y=ode(y0,t0,t,'myode');
 379
 380 // ---------- Simulation of dx/dt = A x(t) + B u(t) with u(t)=sin(omega*t),
 381 // x0=[1;0]
 382 // solution x(t) desired at t=0.1, 0.2, 0.5 ,1.
 383 // A and u function are passed to RHS function in a list.
 384 // B and omega are passed as global variables
 385 function xdot=linear(t,x,A,u),xdot=A*x+B*u(t),endfunction
 386 function ut=u(t),ut=sin(omega*t),endfunction
 387 A=[1 1;0 2];B=[1;1];omega=5;
 388 ode([1;0],0,[0.1,0.2,0.5,1],list(linear,A,u))
 389
 390 // ---------- Matrix notation Integration of the Riccati differential equation
 391 // Xdot=A'*X + X*A - X'*B*X + C , X(0)=Identity
 392 // Solution at t=[1,2]
 393 function Xdot=ric(t,X),Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C,endfunction
 394 A=[1,1;0,2]; B=[1,0;0,1]; C=[1,0;0,1];
 395 t0=0;t=0:0.1:%pi;
 396 X=ode(eye(A),0,t,ric)
 397
 398 // ---------- Matrix notation, Computation of exp(A)
 399 A=[1,1;0,2];
 400 function xdot=f(t,x),xdot=A*x;,endfunction
 401 ode(eye(A),0,1,f)
 402 ode("adams",eye(A),0,1,f)
 403
 404 // ---------- Matrix notation, Computation of exp(A) with stiff matrix, Jacobian given
 405 A=[10,0;0,-1];
 406 function xdot=f(t,x),xdot=A*x,endfunction
 407 function J=Jacobian(t,y),J=A,endfunction
 408 ode("stiff",[0;1],0,1,f,Jacobian)
 409  ]]></programlisting>
 410     </refsection>
 411     <refsection role="see also">
 412         <title>参照</title>
 413         <simplelist type="inline">
 414             <member>
 415                 <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>
 416             </member>
 417             <member>
 418                 <link linkend="ode_root">ode_root</link>
 419             </member>
 420             <member>
 421                 <link linkend="dassl">dassl</link>
 422             </member>
 423             <member>
 424                 <link linkend="impl">impl</link>
 425             </member>
 426             <member>
 427                 <link linkend="odedc">odedc</link>
 428             </member>
 429             <member>
 430                 <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>
 431             </member>
 432             <member>
 433                 <link linkend="csim">csim</link>
 434             </member>
 435             <member>
 436                 <link linkend="ltitr">ltitr</link>
 437             </member>
 438             <member>
 439                 <link linkend="rtitr">rtitr</link>
 440             </member>
 441             <member>
 442                 <link linkend="intg">intg</link>
 443             </member>
 444         </simplelist>
 445     </refsection>
 446     <refsection>
 447         <title>参考文献</title>
 448         <para>Alan C. Hindmarsh, lsode and lsodi, two new initial value ordinary
 449             differential equation solvers, acm-signum newsletter, vol. 15, no. 4
 450             (1980), pp. 10-11.
 451         </para>
 452     </refsection>
 453     <refsection>
 454         <title>使用される関数</title>
 455         <para>関連する関数は SCI/modules/differential_equations/src/fortran directory
 456             :
 457         </para>
 458         <para>lsode.f lsoda.f lsodar.f です.</para>
 459     </refsection>
 460 </refentry>