scilab/modules/differential_equations/help/ru_RU/ode.xml

   1 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
   2 <!--
   3  * Scilab ( http://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
   4  * Copyright (C) 2008 - INRIA
   5  * Copyright (C) 2011 - DIGITEO - Michael Baudin
   6  * Copyright (C) 2012 - Scilab Enterprises - Adeline CARNIS
   7  * Copyright (C) 2012 - 2016 - Scilab Enterprises
   8  *
   9  * This file is hereby licensed under the terms of the GNU GPL v2.0,
  10  * pursuant to article 5.3.4 of the CeCILL v.2.1.
  11  * This file was originally licensed under the terms of the CeCILL v2.1,
  12  * and continues to be available under such terms.
  13  * For more information, see the COPYING file which you should have received
  14  * along with this program.
  15  *
  16  -->
  17 <refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:id="ode" xml:lang="ru">
  18     <refnamediv>
  19         <refname>ode</refname>
  20         <refpurpose>
  21             программа решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  22         </refpurpose>
  23     </refnamediv>
  24     <refsynopsisdiv>
  25         <title>Последовательность вызова</title>
  26         <synopsis>
  27             y = ode(y0, t0, t, f)
  28             [y, w, iw] = ode([type,]y0, t0, t [,rtol [,atol]],f [,jac] [,w, iw])
  29             [y, rd, w, iw] = ode("root", y0, t0, t [,rtol [,atol]], f [,jac], ng, g [, w, iw])
  30             y = ode("discrete", y0, k0, kvect, f)
  31         </synopsis>
  32     </refsynopsisdiv>
  33     <refsection>
  34         <title>Аргументы</title>
  35         <variablelist>
  36             <varlistentry>
  37                 <term>y0</term>
  38                 <listitem>
  39                     <para>
  40                         вектор или матрица вещественных значений, начальные условия.
  41                     </para>
  42                 </listitem>
  43             </varlistentry>
  44             <varlistentry>
  45                 <term>t0</term>
  46                 <listitem>
  47                     <para>
  48                         вещественный скаляр, начальное время.
  49                     </para>
  50                 </listitem>
  51             </varlistentry>
  52             <varlistentry>
  53                 <term>t</term>
  54                 <listitem>
  55                     <para>
  56                         вещественный вектор, моменты времени для которых находится решение.
  57                     </para>
  58                 </listitem>
  59             </varlistentry>
  60             <varlistentry>
  61                 <term>f</term>
  62                 <listitem>
  63                     <para>
  64                         внешняя функция (функция, строка или список),
  65                         правая сторона дифференциального  уравнения.
  66                     </para>
  67                 </listitem>
  68             </varlistentry>
  69             <varlistentry>
  70                 <term>type</term>
  71                 <listitem>
  72                     <para>
  73                         строка, тип используемой программы решения. Имеются следующие типы
  74                         программ решения:        <literal>"adams"</literal>,
  75                         <literal>"stiff"</literal>, <literal>"rk"</literal>,
  76                         <literal>"rkf"</literal>, <literal>"fix"</literal>,
  77                         <literal>"discrete"</literal>, <literal>"roots"</literal>.
  78                     </para>
  79                 </listitem>
  80             </varlistentry>
  81             <varlistentry>
  82                 <term>rtol</term>
  83                 <listitem>
  84                     <para>
  85                         вещественная константа либо вещественный вектор того же размера,
  86                         что и <varname>y</varname>, относительный допуск.
  87                     </para>
  88                 </listitem>
  89             </varlistentry>
  90             <varlistentry>
  91                 <term>atol</term>
  92                 <listitem>
  93                     <para>
  94                         вещественная константа либо вещественный вектор того же размера,
  95                         что и <varname>y</varname>, абсолютный допуск.
  96                     </para>
  97                 </listitem>
  98             </varlistentry>
  99             <varlistentry>
 100                 <term>jac</term>
 101                 <listitem>
 102                     <para>
 103                         внешняя функция (функция, строка или список), якобиан функции
 104                         <varname>f</varname>.
 105                     </para>
 106                 </listitem>
 107             </varlistentry>
 108             <varlistentry>
 109                 <term>w, iw</term>
 110                 <listitem>
 111                     <para>вещественные векторы (ВХОДНЫЕ/ВЫХОДНЫЕ).</para>
 112                 </listitem>
 113             </varlistentry>
 114             <varlistentry>
 115                 <term>ng</term>
 116                 <listitem>
 117                     <para>целое число.</para>
 118                 </listitem>
 119             </varlistentry>
 120             <varlistentry>
 121                 <term>g</term>
 122                 <listitem>
 123                     <para>внешняя функция (функция, символьная строка или список).</para>
 124                 </listitem>
 125             </varlistentry>
 126             <varlistentry>
 127                 <term>k0</term>
 128                 <listitem>
 129                     <para>целое число (начальное время).</para>
 130                 </listitem>
 131             </varlistentry>
 132             <varlistentry>
 133                 <term>kvect</term>
 134                 <listitem>
 135                     <para>целочисленный вектор.</para>
 136                 </listitem>
 137             </varlistentry>
 138             <varlistentry>
 139                 <term>y</term>
 140                 <listitem>
 141                     <para>вещественный вектор или матрица (ВЫХОДНАЯ).</para>
 142                 </listitem>
 143             </varlistentry>
 144             <varlistentry>
 145                 <term>rd</term>
 146                 <listitem>
 147                     <para>вещественный вектор (ВЫХОДНОЙ).</para>
 148                 </listitem>
 149             </varlistentry>
 150         </variablelist>
 151     </refsection>
 152     <refsection>
 153         <title>Описание</title>
 154         <para>
 155             <function>ode</function> решает явные обыкновенные
 156             дифференциальные уравнения, определённые как:
 157         </para>
 158         <para>
 159             <latex>
 160                 \begin{eqnarray}
 161                 \begin{array}{l}
 162                 \dfrac{dy}{dt} = f(t,y)\\
 163                 y(t_0)=y_0
 164                 \end{array}
 165                 \end{eqnarray}
 166             </latex>
 167         </para>
 168         <para>
 169             Это интерфейс для различных программ решения, в частности для ODEPACK.
 170         </para>
 171         <para>
 172             В данной справке описывается использование
 173             <function>ode</function> для стандартных явных систем ОДУ.
 174         </para>
 175         <para>
 176             Самый простой способ вызова <function>ode</function>:
 177             <code>y = ode(y0, t0, t, f)</code>, где <varname>y0</varname> -
 178             вектор начальных условий, <varname>t0</varname> - начальное время,
 179             <varname>t</varname> - вектор моментов времени, для которых вычисляется
 180             решение <varname>y</varname> и <varname>y</varname> - матрица векторов
 181             решения <literal>y=[y(t(1)),y(t(2)),...]</literal>.
 182         </para>
 183         <para>
 184             Входной аргумент <varname>f</varname> определяет правую сторону
 185             дифференциального уравнения первого порядка. Этот аргумент является
 186             функцией с определённым заголовком.
 187         </para>
 188         <itemizedlist>
 189             <listitem>
 190                 <para>
 191                     Если <varname>f</varname> является Scilab-функцией, то её
 192                     последовательность вызова должна быть:
 193                 </para>
 194                 <screen><![CDATA[
 195 ydot = f(t,y)
 196  ]]></screen>
 197                 <para>
 198                     где <literal>t</literal> - вещественный скаляр (время), а
 199                     <varname>y</varname> - вещественный вектор (состояние) и
 200                     <varname>ydot</varname> - вещественный вектор (производная первого
 201                     порядка dy/dt).
 202                 </para>
 203             </listitem>
 204             <listitem>
 205                 <para>
 206                     Если <varname>f</varname> - строка, то это - имя  компилированной
 207                     процедуры Fortran или функции C. Например, если вызывается
 208                     <code>ode(y0, t0, t, "fex")</code>, то вызывается подпрограмма
 209                     <literal>fex</literal>.
 210                 </para>
 211                 <para>
 212                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 213                 </para>
 214                 <screen><![CDATA[
 215 fex(n,t,y,ydot)
 216  ]]></screen>
 217                 <para>
 218                     где <varname>n</varname> - целое число, <varname>t</varname> --
 219                     скаляр двойной точности, <varname>y</varname> и
 220                     <varname>ydot</varname> - векторы двойной точности.
 221                 </para>
 222                 <para>
 223                     Функция C должна иметь заголовок:
 224                 </para>
 225                 <screen><![CDATA[
 226 fex(int *n,double *t,double *y,double *ydot)
 227  ]]></screen>
 228                 <para>
 229                     где <varname>t</varname> - время, <varname>y</varname> - состояние,
 230                     а <varname>ydot</varname> - производная состояния (dy/dt).
 231                 </para>
 232                 <para>
 233                     Эта внешняя функция может быть собрана способом, независящим от ОС,
 234                     используя <link linkend="ilib_for_link">ilib_for_link</link> и
 235                     динамически связана с Scilab с помощью функции
 236                     <link linkend="link">link</link>.
 237                 </para>
 238             </listitem>
 239             <listitem>
 240                 <para>
 241                     Может случиться, что симулятору <varname>f</varname> потребуются
 242                     дополнительные аргументы. В этом случае можно использовать следующую
 243                     возможность. Аргумент <varname>f</varname> может также быть
 244                     списком <literal>lst=list(simuf,u1,u2,...un)</literal>, где
 245                     <literal>simuf</literal> является Scilab-функцией с синтаксисом:
 246                     <literal>ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)</literal>, а
 247                     <literal>u1</literal>, <literal>u2</literal>, ...,
 248                     <literal>un</literal> - дополнительные аргументы, автоматически
 249                     передаваемые симулятору <literal>simuf</literal>.
 250                 </para>
 251             </listitem>
 252         </itemizedlist>
 253         <para>
 254             Функция <varname>f</varname> может возвращать вместо
 255             вектора матрицу<literal>p x q</literal>. С этой матричной нотацией
 256             решается система <literal>n=p+q</literal> ОДУ
 257             <literal>dY/dt=F(t,Y)</literal>, где <literal>Y</literal> - матрица
 258             <literal>p x q</literal>.  Затем начальные условия,
 259             <literal>Y0</literal>, должны быть так же матрицей
 260             <literal>p x q</literal>, а результат <function>ode</function> - матрицей
 261             <literal>p x q(T+1)</literal>
 262             <literal>[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]</literal>.
 263         </para>
 264         <para>
 265             Допуски <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> являются
 266             порогами для относительной и абсолютной оценённых ошибок. Оценённая
 267             ошибка <literal>y(i)</literal> равна:
 268             <literal>rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)</literal> и интегрирование выполняется
 269             пока эта ошибка мала для каждого из элементов состояния. Если
 270             <varname>rtol</varname> и/или <varname>atol</varname> является
 271             константой, то <literal>rtol(i)</literal> и/или <literal>atol(i)</literal>
 272             являются набором констант. Значения по умолчанию для
 273             <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> соответственно равны
 274             <literal>rtol=1.d-5</literal> и <literal>atol=1.d-7</literal> для
 275             большинства программ решения, а для <literal>"rfk"</literal> и
 276             <literal>"fix"</literal>  <literal>rtol=1.d-3</literal> и
 277             <literal>atol=1.d-4</literal>.
 278         </para>
 279         <para>
 280             Для жёстких задач лучше указывать якобиан функции правой стороны в
 281             качестве необязательного аргумента <varname>jac</varname>.
 282             Якобиан является внешней функцией, т. е. функцией со специальным
 283             синтаксисом, либо именем процедуры Fortran или функции C
 284             (символьная строка) с определённой последовательностью вызова, либо
 285             списком.
 286         </para>
 287         <itemizedlist>
 288             <listitem>
 289                 <para>
 290                     Если <varname>jac</varname> является функцией, то синтаксис должен
 291                     быть <literal>J=jac(t,y)</literal>, где <literal>t</literal> --
 292                     вещественный скаляр (время), а <varname>y</varname> - вещественный
 293                     вектор (состояние). Результирующая матрица <literal>J</literal>
 294                     должна вычислять df/dx, т. е. <literal>J(k,i) = dfk/dxi</literal>, где
 295                     <literal>fk</literal> - <literal>k</literal>-тый элемент
 296                     <varname>f</varname>.
 297                 </para>
 298             </listitem>
 299             <listitem>
 300                 <para>
 301                     Если <varname>jac</varname> является символьной строкой, то она
 302                     ссылается на имя процедуры Fortran или функции C.
 303                 </para>
 304                 <para>
 305                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 306                 </para>
 307                 <screen><![CDATA[
 308 subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)
 309 integer n,ml,mu,nrpd
 310 double precision t,y(*),J(*)
 311  ]]></screen>
 312                 <para>
 313                     Функция C должна иметь заголовок:
 314                 </para>
 315                 <screen><![CDATA[
 316 void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)
 317  ]]></screen>
 318                 <para>
 319                     В большинстве случаев не нужно ссылаться на <literal>ml</literal>,
 320                     <literal>mu</literal> и <literal>nrpd</literal>.
 321                 </para>
 322             </listitem>
 323             <listitem>
 324                 <para>
 325                     Если <varname>jac</varname> является списком, то для
 326                     <varname>f</varname> применяются те же договорённости.
 327                 </para>
 328             </listitem>
 329         </itemizedlist>
 330         <para>
 331             Необязательные аргументы <varname>w</varname> и
 332             <varname>iw</varname> являются векторами для хранения информации,
 333             возвращаемой подпрограммой интегрирования (см. <link linkend="ode_optional_output">ode_optional_output</link>).
 334             Когда эти векторы указываются с правой стороны  <function>ode</function>,
 335             интегрирование начинается заново с теми же параметрами, что и до
 336             остановки.
 337         </para>
 338         <para>
 339             Программам решения ODEPACK можно передать больше опций с помощью
 340             переменной  <literal>%ODEOPTIONS</literal>. See <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>.
 341         </para>
 342     </refsection>
 343     <refsection>
 344         <title>Программы решения</title>
 345         <para>
 346             Тип задачи, которую надо решить и используемый метод зависят от
 347             значения первого необязательного аргумента <varname>type</varname>,
 348             который может быть одной из следующих строк:
 349         </para>
 350         <variablelist>
 351             <varlistentry>
 352                 <term>&lt;не задано&gt;:</term>
 353                 <listitem>
 354                     <para>
 355                         Программа решения <literal>lsoda</literal> из пакета ODEPACK
 356                         вызывается по умолчанию. Она автоматически выбирает между
 357                         нежёстким  методом прогноза-исправления Адамса
 358                         (predictor-corrector Adams method) и жёстким методом обратной
 359                         дифференциальной формулой (ОДФ) ( Backward Differentiation
 360                         Formula (BDF) method). Изначально она применяет нежёсткий метод и
 361                         динамически проверяет данные для того, чтобы решить какой метод
 362                         использовать.
 363                     </para>
 364                 </listitem>
 365             </varlistentry>
 366             <varlistentry>
 367                 <term>"adams":</term>
 368                 <listitem>
 369                     <para>
 370                         Используется для нежёстких задач. Вызывается программа
 371                         решения <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она
 372                         использует метод Адамса.
 373                     </para>
 374                 </listitem>
 375             </varlistentry>
 376             <varlistentry>
 377                 <term>"stiff":</term>
 378                 <listitem>
 379                     <para>
 380                         Это для жёстких задач. Вызывается программа решения
 381                         <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она использует метод
 382                         ОДФ.
 383                     </para>
 384                 </listitem>
 385             </varlistentry>
 386             <varlistentry>
 387                 <term>"rk":</term>
 388                 <listitem>
 389                     <para>Адаптивный метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4).</para>
 390                 </listitem>
 391             </varlistentry>
 392             <varlistentry>
 393                 <term>"rkf":</term>
 394                 <listitem>
 395                     <para>
 396                         Используется программа Шампайна и Уотса (Shampine и Watts),
 397                         основанная на методе Рунге-Кутты-Фелберга пары 4 и 5-го
 398                         порядка (RKF45). Она для нежёстких и среднежёстких задач,
 399                         когда получаемые вычисления не дороги. Этот метод не следует, в
 400                         общем случае, использовать, если пользователь требует
 401                         высокую точность.
 402                     </para>
 403                 </listitem>
 404             </varlistentry>
 405             <varlistentry>
 406                 <term>"fix":</term>
 407                 <listitem>
 408                     <para>
 409                         Та же программа решения, что и <literal>"rkf"</literal>, но
 410                         пользовательский интерфейс очень прост, т. е. программе решения
 411                         могут быть переданы только параметры <varname>rtol</varname> и
 412                         <varname>atol</varname>. Это самый простой метод для пробы.
 413                     </para>
 414                 </listitem>
 415             </varlistentry>
 416             <varlistentry>
 417                 <term>"root":</term>
 418                 <listitem>
 419                     <para>
 420                         Программа решения ОДУ с возможностью нахождения корней.
 421                         Используется программа решения <literal>lsodar</literal> из пакета
 422                         ODEPACK. Она является вариантом программы
 423                         решения <literal>lsoda</literal>, где она ищет корни заданной
 424                         векторной функции. См. справку по <link linkend="ode_root">ode_root</link>.
 425                     </para>
 426                 </listitem>
 427             </varlistentry>
 428             <varlistentry>
 429                 <term>"discrete":</term>
 430                 <listitem>
 431                     <para>
 432                         Моделирование дискретного времени. См. справку по <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>.
 433                     </para>
 434                 </listitem>
 435             </varlistentry>
 436         </variablelist>
 437     </refsection>
 438     <refsection>
 439         <title>Примеры</title>
 440         <para>
 441             В следующем примере мы решим обыкновенное дифференциальное уравнение
 442             <literal>dy/dt=y^2-y*sin(t)+cos(t)</literal> с начальным условием
 443             <literal>y(0)=0</literal>. Используем программу решения по умолчанию.
 444         </para>
 445         <programlisting role="example"><![CDATA[
 446 function ydot=f(t,y)
 447         ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)
 448 endfunction
 449 y0=0;
 450 t0=0;
 451 t=0:0.1:%pi;
 452 y = ode(y0,t0,t,f);
 453 plot(t,y)
 454  ]]></programlisting>
 455         <para>
 456             В следующем примере мы решаем уравнение <literal>dy/dt=A*y</literal>.
 457             Точное решение равно <literal>y(t)=expm(A*t)*y(0)</literal>, где
 458             <literal>expm</literal> - матричная экспонента.
 459             Неизвестное равно матрице  <literal>y(t)</literal> размером 2 на 1.
 460         </para>
 461         <programlisting role="example"><![CDATA[
 462 function ydot=f(t,y)
 463     ydot=A*y
 464 endfunction
 465 function J=Jacobian(t,y)
 466     J=A
 467 endfunction
 468 A=[10,0;0,-1];
 469 y0=[0;1];
 470 t0=0;
 471 t=1;
 472 ode("stiff",y0,t0,t,f,Jacobian)
 473 // Сравним с точным решением:
 474 expm(A*t)*y0
 475  ]]></programlisting>
 476         <para>
 477             В следующем примере мы решаем ОДУ <literal>dx/dt = A*x(t) +
 478                 B*u(t)
 479             </literal>
 480             с <literal>u(t)=sin(omega*t)</literal>.
 481             Обратите внимание, что дополнительные аргументы <varname>f</varname>:
 482             <literal>A</literal>, <literal>u</literal>, <literal>B</literal>,
 483             <literal>omega</literal> передаются в <varname>f</varname> в списке.
 484         </para>
 485         <programlisting role="example"><![CDATA[
 486 function xdot=linear(t,x,A,u,B,omega)
 487     xdot=A*x+B*u(t,omega)
 488 endfunction
 489 function ut=u(t,omega)
 490     ut=sin(omega*t)
 491 endfunction
 492 A=[1 1;0 2];
 493 B=[1;1];
 494 omega=5;
 495 y0=[1;0];
 496 t0=0;
 497 t=[0.1,0.2,0.5,1];
 498 ode(y0,t0,t,list(linear,A,u,B,omega))
 499  ]]></programlisting>
 500         <para>
 501             В следующем примере мы решим дифференциальное уравнение Риккати
 502             <literal>dX/dt=A'*X + X*A - X'*B*X + C</literal>, где начальное
 503             условие  <literal>X(0)</literal> является единичной матрицей 2 на 2.
 504         </para>
 505         <programlisting role="example"><![CDATA[
 506 function Xdot=ric(t,X,A,B,C)
 507     Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C
 508 endfunction
 509 A=[1,1;0,2];
 510 B=[1,0;0,1];
 511 C=[1,0;0,1];
 512 y0=eye(A);
 513 t0=0;
 514 t=0:0.1:%pi;
 515 X = ode(y0,t0,t,list(ric,A,B,C))
 516  ]]></programlisting>
 517         <para>
 518             В следующем примере мы решаме дифференциальное уравнение
 519             <literal>dY/dt=A*Y</literal>, где неизвестная <literal>Y(t)</literal>
 520             является матрицей 2 на 2.  Точное решение равно <literal>expm</literal>
 521             <literal>Y(t)=expm(A*t)</literal>, где <literal>expm</literal> --
 522             матричная экспонента.
 523         </para>
 524         <programlisting role="example"><![CDATA[
 525 function ydot=f(t,y,A)
 526     ydot=A*y;
 527 endfunction
 528 A=[1,1;0,2];
 529 y0=eye(A);
 530 t0=0;
 531 t=1;
 532 ode(y0,t0,t,list(f,A))
 533 // Сравнение с точным решением
 534 expm(A*t)
 535 ode("adams",y0,t0,t,f)
 536  ]]></programlisting>
 537     </refsection>
 538     <refsection>
 539         <title>С компилятором</title>
 540         <para>
 541             Следующий пример требует компилятор C.
 542         </para>
 543         <programlisting role="example"><![CDATA[
 544 // ---------- Простое одномерное ОДУ (внешняя функция на языке C)
 545 ccode=['#include <math.h>'
 546        'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
 547        '{'
 548        '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
 549        '}']
 550 mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') // создаём C-файл
 551 // Компилируем
 552 ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',[],TMPDIR+'/loader.sce');
 553 exec(TMPDIR+'/loader.sce') // пошаговая компоновка
 554 y0=0;
 555 t0=0;
 556 t=0:0.1:%pi;
 557 y = ode(y0,t0,t,'myode');
 558
 559  ]]></programlisting>
 560     </refsection>
 561     <refsection role="see also">
 562         <title>Смотрите также</title>
 563         <simplelist type="inline">
 564             <member>
 565                 <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>
 566             </member>
 567             <member>
 568                 <link linkend="ode_root">ode_root</link>
 569             </member>
 570             <member>
 571                 <link linkend="dassl">dassl</link>
 572             </member>
 573             <member>
 574                 <link linkend="impl">impl</link>
 575             </member>
 576             <member>
 577                 <link linkend="odedc">odedc</link>
 578             </member>
 579             <member>
 580                 <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>
 581             </member>
 582             <member>
 583                 <link linkend="csim">csim</link>
 584             </member>
 585             <member>
 586                 <link linkend="ltitr">ltitr</link>
 587             </member>
 588             <member>
 589                 <link linkend="rtitr">rtitr</link>
 590             </member>
 591             <member>
 592                 <link linkend="intg">intg</link>
 593             </member>
 594         </simplelist>
 595     </refsection>
 596     <refsection>
 597         <title>Литература</title>
 598         <para>
 599             Alan C. Hindmarsh, "lsode and lsodi, two new initial value ordinary
 600             differential equation solvers", ACM-Signum newsletter, vol. 15, no. 4
 601             (1980), pp. 10-11.
 602         </para>
 603     </refsection>
 604     <refsection>
 605         <title>Используемые функции</title>
 606         <para>
 607             Связанные процедуры могут быть найдены в директории
 608             SCI/modules/differential_equations/src/fortran:
 609             lsode.f lsoda.f lsodar.f
 610         </para>
 611     </refsection>
 612 </refentry>