scilab/modules/differential_equations/help/ru_RU/ode.xml

   1 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
   2 <!--
   3  * Scilab ( http://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
   4  * Copyright (C) 2008 - INRIA
   5  * Copyright (C) 2011 - DIGITEO - Michael Baudin
   6  * Copyright (C) 2012 - Scilab Enterprises - Adeline CARNIS
   7  * This file must be used under the terms of the CeCILL.
   8  * This source file is licensed as described in the file COPYING, which
   9  * you should have received as part of this distribution.  The terms
  10  * are also available at
  11  * http://www.cecill.info/licences/Licence_CeCILL_V2-en.txt
  12  *
  13  -->
  14 <refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:id="ode" xml:lang="ru">
  15     <refnamediv>
  16         <refname>ode</refname>
  17         <refpurpose>
  18             программа решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  19         </refpurpose>
  20     </refnamediv>
  21     <refsynopsisdiv>
  22         <title>Последовательность вызова</title>
  23         <synopsis>
  24             y = ode(y0, t0, t, f)
  25             [y, w, iw] = ode([type,]y0, t0, t [,rtol [,atol]],f [,jac] [,w, iw])
  26             [y, rd, w, iw] = ode("root", y0, t0, t [,rtol [,atol]], f [,jac], ng, g [, w, iw])
  27             y = ode("discrete", y0, k0, kvect, f)
  28         </synopsis>
  29     </refsynopsisdiv>
  30     <refsection>
  31         <title>Аргументы</title>
  32         <variablelist>
  33             <varlistentry>
  34                 <term>y0</term>
  35                 <listitem>
  36                     <para>
  37                         вектор или матрица вещественных значений, начальные условия.
  38                     </para>
  39                 </listitem>
  40             </varlistentry>
  41             <varlistentry>
  42                 <term>t0</term>
  43                 <listitem>
  44                     <para>
  45                         вещественный скаляр, начальное время.
  46                     </para>
  47                 </listitem>
  48             </varlistentry>
  49             <varlistentry>
  50                 <term>t</term>
  51                 <listitem>
  52                     <para>
  53                         вещественный вектор, моменты времени для которых находится решение.
  54                     </para>
  55                 </listitem>
  56             </varlistentry>
  57             <varlistentry>
  58                 <term>f</term>
  59                 <listitem>
  60                     <para>
  61                         внешняя функция (функция, строка или список),
  62                         правая сторона дифференциального  уравнения.
  63                     </para>
  64                 </listitem>
  65             </varlistentry>
  66             <varlistentry>
  67                 <term>type</term>
  68                 <listitem>
  69                     <para>
  70                         строка, тип используемой программы решения. Имеются следующие типы
  71                         программ решения:        <literal>"adams"</literal>,
  72                         <literal>"stiff"</literal>, <literal>"rk"</literal>,
  73                         <literal>"rkf"</literal>, <literal>"fix"</literal>,
  74                         <literal>"discrete"</literal>, <literal>"roots"</literal>.
  75                     </para>
  76                 </listitem>
  77             </varlistentry>
  78             <varlistentry>
  79                 <term>rtol</term>
  80                 <listitem>
  81                     <para>
  82                         вещественная константа либо вещественный вектор того же размера,
  83                         что и <varname>y</varname>, относительный допуск.
  84                     </para>
  85                 </listitem>
  86             </varlistentry>
  87             <varlistentry>
  88                 <term>atol</term>
  89                 <listitem>
  90                     <para>
  91                         вещественная константа либо вещественный вектор того же размера,
  92                         что и <varname>y</varname>, абсолютный допуск.
  93                     </para>
  94                 </listitem>
  95             </varlistentry>
  96             <varlistentry>
  97                 <term>jac</term>
  98                 <listitem>
  99                     <para>
 100                         внешняя функция (функция, строка или список), якобиан функции
 101                         <varname>f</varname>.
 102                     </para>
 103                 </listitem>
 104             </varlistentry>
 105             <varlistentry>
 106                 <term>w, iw</term>
 107                 <listitem>
 108                     <para>вещественные векторы (ВХОДНЫЕ/ВЫХОДНЫЕ).</para>
 109                 </listitem>
 110             </varlistentry>
 111             <varlistentry>
 112                 <term>ng</term>
 113                 <listitem>
 114                     <para>целое число.</para>
 115                 </listitem>
 116             </varlistentry>
 117             <varlistentry>
 118                 <term>g</term>
 119                 <listitem>
 120                     <para>внешняя функция (функция, символьная строка или список).</para>
 121                 </listitem>
 122             </varlistentry>
 123             <varlistentry>
 124                 <term>k0</term>
 125                 <listitem>
 126                     <para>целое число (начальное время).</para>
 127                 </listitem>
 128             </varlistentry>
 129             <varlistentry>
 130                 <term>kvect</term>
 131                 <listitem>
 132                     <para>целочисленный вектор.</para>
 133                 </listitem>
 134             </varlistentry>
 135             <varlistentry>
 136                 <term>y</term>
 137                 <listitem>
 138                     <para>вещественный вектор или матрица (ВЫХОДНАЯ).</para>
 139                 </listitem>
 140             </varlistentry>
 141             <varlistentry>
 142                 <term>rd</term>
 143                 <listitem>
 144                     <para>вещественный вектор (ВЫХОДНОЙ).</para>
 145                 </listitem>
 146             </varlistentry>
 147         </variablelist>
 148     </refsection>
 149     <refsection>
 150         <title>Описание</title>
 151         <para>
 152             <function>ode</function> решает явные обыкновенные
 153             дифференциальные уравнения, определённые как:
 154         </para>
 155         <para>
 156             <latex>
 157                 \begin{eqnarray}
 158                 \begin{array}{l}
 159                 \dfrac{dy}{dt} = f(t,y)\\
 160                 y(t_0)=y_0
 161                 \end{array}
 162                 \end{eqnarray}
 163             </latex>
 164         </para>
 165         <para>
 166             Это интерфейс для различных программ решения, в частности для ODEPACK.
 167         </para>
 168         <para>
 169             В данной справке описывается использование
 170             <function>ode</function> для стандартных явных систем ОДУ.
 171         </para>
 172         <para>
 173             Самый простой способ вызова <function>ode</function>:
 174             <code>y = ode(y0, t0, t, f)</code>, где <varname>y0</varname> -
 175             вектор начальных условий, <varname>t0</varname> - начальное время,
 176             <varname>t</varname> - вектор моментов времени, для которых вычисляется
 177             решение <varname>y</varname> и <varname>y</varname> - матрица векторов
 178             решения <literal>y=[y(t(1)),y(t(2)),...]</literal>.
 179         </para>
 180         <para>
 181             Входной аргумент <varname>f</varname> определяет правую сторону
 182             дифференциального уравнения первого порядка. Этот аргумент является
 183             функцией с определённым заголовком.
 184         </para>
 185         <itemizedlist>
 186             <listitem>
 187                 <para>
 188                     Если <varname>f</varname> является Scilab-функцией, то её
 189                     последовательность вызова должна быть:
 190                 </para>
 191                 <screen><![CDATA[
 192 ydot = f(t,y)
 193  ]]></screen>
 194                 <para>
 195                     где <literal>t</literal> - вещественный скаляр (время), а
 196                     <varname>y</varname> - вещественный вектор (состояние) и
 197                     <varname>ydot</varname> - вещественный вектор (производная первого
 198                     порядка dy/dt).
 199                 </para>
 200             </listitem>
 201             <listitem>
 202                 <para>
 203                     Если <varname>f</varname> - строка, то это - имя  компилированной
 204                     процедуры Fortran или функции C. Например, если вызывается
 205                     <code>ode(y0, t0, t, "fex")</code>, то вызывается подпрограмма
 206                     <literal>fex</literal>.
 207                 </para>
 208                 <para>
 209                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 210                 </para>
 211                 <screen><![CDATA[
 212 fex(n,t,y,ydot)
 213  ]]></screen>
 214                 <para>
 215                     где <varname>n</varname> - целое число, <varname>t</varname> --
 216                     скаляр двойной точности, <varname>y</varname> и
 217                     <varname>ydot</varname> - векторы двойной точности.
 218                 </para>
 219                 <para>
 220                     Функция C должна иметь заголовок:
 221                 </para>
 222                 <screen><![CDATA[
 223 fex(int *n,double *t,double *y,double *ydot)
 224  ]]></screen>
 225                 <para>
 226                     где <varname>t</varname> - время, <varname>y</varname> - состояние,
 227                     а <varname>ydot</varname> - производная состояния (dy/dt).
 228                 </para>
 229                 <para>
 230                     Эта внешняя функция может быть собрана способом, независящим от ОС,
 231                     используя <link linkend="ilib_for_link">ilib_for_link</link> и
 232                     динамически связана с Scilab с помощью функции
 233                     <link linkend="link">link</link>.
 234                 </para>
 235             </listitem>
 236             <listitem>
 237                 <para>
 238                     Может случиться, что симулятору <varname>f</varname> потребуются
 239                     дополнительные аргументы. В этом случае можно использовать следующую
 240                     возможность. Аргумент <varname>f</varname> может также быть
 241                     списком <literal>lst=list(simuf,u1,u2,...un)</literal>, где
 242                     <literal>simuf</literal> является Scilab-функцией с синтаксисом:
 243                     <literal>ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)</literal>, а
 244                     <literal>u1</literal>, <literal>u2</literal>, ...,
 245                     <literal>un</literal> - дополнительные аргументы, автоматически
 246                     передаваемые симулятору <literal>simuf</literal>.
 247                 </para>
 248             </listitem>
 249         </itemizedlist>
 250         <para>
 251             Функция <varname>f</varname> может возвращать вместо
 252             вектора матрицу<literal>p x q</literal>. С этой матричной нотацией
 253             решается система <literal>n=p+q</literal> ОДУ
 254             <literal>dY/dt=F(t,Y)</literal>, где <literal>Y</literal> - матрица
 255             <literal>p x q</literal>.  Затем начальные условия,
 256             <literal>Y0</literal>, должны быть так же матрицей
 257             <literal>p x q</literal>, а результат <function>ode</function> - матрицей
 258             <literal>p x q(T+1)</literal>
 259             <literal>[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]</literal>.
 260         </para>
 261         <para>
 262             Допуски <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> являются
 263             порогами для относительной и абсолютной оценённых ошибок. Оценённая
 264             ошибка <literal>y(i)</literal> равна:
 265             <literal>rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)</literal> и интегрирование выполняется
 266             пока эта ошибка мала для каждого из элементов состояния. Если
 267             <varname>rtol</varname> и/или <varname>atol</varname> является
 268             константой, то <literal>rtol(i)</literal> и/или <literal>atol(i)</literal>
 269             являются набором констант. Значения по умолчанию для
 270             <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> соответственно равны
 271             <literal>rtol=1.d-5</literal> и <literal>atol=1.d-7</literal> для
 272             большинства программ решения, а для <literal>"rfk"</literal> и
 273             <literal>"fix"</literal>  <literal>rtol=1.d-3</literal> и
 274             <literal>atol=1.d-4</literal>.
 275         </para>
 276         <para>
 277             Для жёстких задач лучше указывать якобиан функции правой стороны в
 278             качестве необязательного аргумента <varname>jac</varname>.
 279             Якобиан является внешней функцией, т. е. функцией со специальным
 280             синтаксисом, либо именем процедуры Fortran или функции C
 281             (символьная строка) с определённой последовательностью вызова, либо
 282             списком.
 283         </para>
 284         <itemizedlist>
 285             <listitem>
 286                 <para>
 287                     Если <varname>jac</varname> является функцией, то синтаксис должен
 288                     быть <literal>J=jac(t,y)</literal>, где <literal>t</literal> --
 289                     вещественный скаляр (время), а <varname>y</varname> - вещественный
 290                     вектор (состояние). Результирующая матрица <literal>J</literal>
 291                     должна вычислять df/dx, т. е. <literal>J(k,i) = dfk/dxi</literal>, где
 292                     <literal>fk</literal> - <literal>k</literal>-тый элемент
 293                     <varname>f</varname>.
 294                 </para>
 295             </listitem>
 296             <listitem>
 297                 <para>
 298                     Если <varname>jac</varname> является символьной строкой, то она
 299                     ссылается на имя процедуры Fortran или функции C.
 300                 </para>
 301                 <para>
 302                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 303                 </para>
 304                 <screen><![CDATA[
 305 subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)
 306 integer n,ml,mu,nrpd
 307 double precision t,y(*),J(*)
 308  ]]></screen>
 309                 <para>
 310                     Функция C должна иметь заголовок:
 311                 </para>
 312                 <screen><![CDATA[
 313 void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)
 314  ]]></screen>
 315                 <para>
 316                     В большинстве случаев не нужно ссылаться на <literal>ml</literal>,
 317                     <literal>mu</literal> и <literal>nrpd</literal>.
 318                 </para>
 319             </listitem>
 320             <listitem>
 321                 <para>
 322                     Если <varname>jac</varname> является списком, то для
 323                     <varname>f</varname> применяются те же договорённости.
 324                 </para>
 325             </listitem>
 326         </itemizedlist>
 327         <para>
 328             Необязательные аргументы <varname>w</varname> и
 329             <varname>iw</varname> являются векторами для хранения информации,
 330             возвращаемой подпрограммой интегрирования (см. <link linkend="ode_optional_output">ode_optional_output</link>).
 331             Когда эти векторы указываются с правой стороны  <function>ode</function>,
 332             интегрирование начинается заново с теми же параметрами, что и до
 333             остановки.
 334         </para>
 335         <para>
 336             Программам решения ODEPACK можно передать больше опций с помощью
 337             переменной  <literal>%ODEOPTIONS</literal>. See <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>.
 338         </para>
 339     </refsection>
 340     <refsection>
 341         <title>Программы решения</title>
 342         <para>
 343             Тип задачи, которую надо решить и используемый метод зависят от
 344             значения первого необязательного аргумента <varname>type</varname>,
 345             который может быть одной из следующих строк:
 346         </para>
 347         <variablelist>
 348             <varlistentry>
 349                 <term>&lt;не задано&gt;:</term>
 350                 <listitem>
 351                     <para>
 352                         Программа решения <literal>lsoda</literal> из пакета ODEPACK
 353                         вызывается по умолчанию. Она автоматически выбирает между
 354                         нежёстким  методом прогноза-исправления Адамса
 355                         (predictor-corrector Adams method) и жёстким методом обратной
 356                         дифференциальной формулой (ОДФ) ( Backward Differentiation
 357                         Formula (BDF) method). Изначально она применяет нежёсткий метод и
 358                         динамически проверяет данные для того, чтобы решить какой метод
 359                         использовать.
 360                     </para>
 361                 </listitem>
 362             </varlistentry>
 363             <varlistentry>
 364                 <term>"adams":</term>
 365                 <listitem>
 366                     <para>
 367                         Используется для нежёстких задач. Вызывается программа
 368                         решения <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она
 369                         использует метод Адамса.
 370                     </para>
 371                 </listitem>
 372             </varlistentry>
 373             <varlistentry>
 374                 <term>"stiff":</term>
 375                 <listitem>
 376                     <para>
 377                         Это для жёстких задач. Вызывается программа решения
 378                         <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она использует метод
 379                         ОДФ.
 380                     </para>
 381                 </listitem>
 382             </varlistentry>
 383             <varlistentry>
 384                 <term>"rk":</term>
 385                 <listitem>
 386                     <para>Адаптивный метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4).</para>
 387                 </listitem>
 388             </varlistentry>
 389             <varlistentry>
 390                 <term>"rkf":</term>
 391                 <listitem>
 392                     <para>
 393                         Используется программа Шампайна и Уотса (Shampine и Watts),
 394                         основанная на методе Рунге-Кутты-Фелберга пары 4 и 5-го
 395                         порядка (RKF45). Она для нежёстких и среднежёстких задач,
 396                         когда получаемые вычисления не дороги. Этот метод не следует, в
 397                         общем случае, использовать, если пользователь требует
 398                         высокую точность.
 399                     </para>
 400                 </listitem>
 401             </varlistentry>
 402             <varlistentry>
 403                 <term>"fix":</term>
 404                 <listitem>
 405                     <para>
 406                         Та же программа решения, что и <literal>"rkf"</literal>, но
 407                         пользовательский интерфейс очень прост, т. е. программе решения
 408                         могут быть переданы только параметры <varname>rtol</varname> и
 409                         <varname>atol</varname>. Это самый простой метод для пробы.
 410                     </para>
 411                 </listitem>
 412             </varlistentry>
 413             <varlistentry>
 414                 <term>"root":</term>
 415                 <listitem>
 416                     <para>
 417                         Программа решения ОДУ с возможностью нахождения корней.
 418                         Используется программа решения <literal>lsodar</literal> из пакета
 419                         ODEPACK. Она является вариантом программы
 420                         решения <literal>lsoda</literal>, где она ищет корни заданной
 421                         векторной функции. См. справку по <link linkend="ode_root">ode_root</link>.
 422                     </para>
 423                 </listitem>
 424             </varlistentry>
 425             <varlistentry>
 426                 <term>"discrete":</term>
 427                 <listitem>
 428                     <para>
 429                         Моделирование дискретного времени. См. справку по <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>.
 430                     </para>
 431                 </listitem>
 432             </varlistentry>
 433         </variablelist>
 434     </refsection>
 435     <refsection>
 436         <title>Примеры</title>
 437         <para>
 438             В следующем примере мы решим обыкновенное дифференциальное уравнение
 439             <literal>dy/dt=y^2-y*sin(t)+cos(t)</literal> с начальным условием
 440             <literal>y(0)=0</literal>. Используем программу решения по умолчанию.
 441         </para>
 442         <programlisting role="example"><![CDATA[
 443 function ydot=f(t,y)
 444         ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)
 445 endfunction
 446 y0=0;
 447 t0=0;
 448 t=0:0.1:%pi;
 449 y = ode(y0,t0,t,f);
 450 plot(t,y)
 451  ]]></programlisting>
 452         <para>
 453             В следующем примере мы решаем уравнение <literal>dy/dt=A*y</literal>.
 454             Точное решение равно <literal>y(t)=expm(A*t)*y(0)</literal>, где
 455             <literal>expm</literal> - матричная экспонента.
 456             Неизвестное равно матрице  <literal>y(t)</literal> размером 2 на 1.
 457         </para>
 458         <programlisting role="example"><![CDATA[
 459 function ydot=f(t,y)
 460     ydot=A*y
 461 endfunction
 462 function J=Jacobian(t,y)
 463     J=A
 464 endfunction
 465 A=[10,0;0,-1];
 466 y0=[0;1];
 467 t0=0;
 468 t=1;
 469 ode("stiff",y0,t0,t,f,Jacobian)
 470 // Сравним с точным решением:
 471 expm(A*t)*y0
 472  ]]></programlisting>
 473         <para>
 474             В следующем примере мы решаем ОДУ <literal>dx/dt = A*x(t) +
 475                 B*u(t)
 476             </literal>
 477             с <literal>u(t)=sin(omega*t)</literal>.
 478             Обратите внимание, что дополнительные аргументы <varname>f</varname>:
 479             <literal>A</literal>, <literal>u</literal>, <literal>B</literal>,
 480             <literal>omega</literal> передаются в <varname>f</varname> в списке.
 481         </para>
 482         <programlisting role="example"><![CDATA[
 483 function xdot=linear(t,x,A,u,B,omega)
 484     xdot=A*x+B*u(t,omega)
 485 endfunction
 486 function ut=u(t,omega)
 487     ut=sin(omega*t)
 488 endfunction
 489 A=[1 1;0 2];
 490 B=[1;1];
 491 omega=5;
 492 y0=[1;0];
 493 t0=0;
 494 t=[0.1,0.2,0.5,1];
 495 ode(y0,t0,t,list(linear,A,u,B,omega))
 496  ]]></programlisting>
 497         <para>
 498             В следующем примере мы решим дифференциальное уравнение Риккати
 499             <literal>dX/dt=A'*X + X*A - X'*B*X + C</literal>, где начальное
 500             условие  <literal>X(0)</literal> является единичной матрицей 2 на 2.
 501         </para>
 502         <programlisting role="example"><![CDATA[
 503 function Xdot=ric(t,X,A,B,C)
 504     Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C
 505 endfunction
 506 A=[1,1;0,2];
 507 B=[1,0;0,1];
 508 C=[1,0;0,1];
 509 y0=eye(A);
 510 t0=0;
 511 t=0:0.1:%pi;
 512 X = ode(y0,t0,t,list(ric,A,B,C))
 513  ]]></programlisting>
 514         <para>
 515             В следующем примере мы решаме дифференциальное уравнение
 516             <literal>dY/dt=A*Y</literal>, где неизвестная <literal>Y(t)</literal>
 517             является матрицей 2 на 2.  Точное решение равно <literal>expm</literal>
 518             <literal>Y(t)=expm(A*t)</literal>, где <literal>expm</literal> --
 519             матричная экспонента.
 520         </para>
 521         <programlisting role="example"><![CDATA[
 522 function ydot=f(t,y,A)
 523     ydot=A*y;
 524 endfunction
 525 A=[1,1;0,2];
 526 y0=eye(A);
 527 t0=0;
 528 t=1;
 529 ode(y0,t0,t,list(f,A))
 530 // Сравнение с точным решением
 531 expm(A*t)
 532 ode("adams",y0,t0,t,f)
 533  ]]></programlisting>
 534     </refsection>
 535     <refsection>
 536         <title>С компилятором</title>
 537         <para>
 538             Следующий пример требует компилятор C.
 539         </para>
 540         <programlisting role="example"><![CDATA[
 541 // ---------- Простое одномерное ОДУ (внешняя функция на языке C)
 542 ccode=['#include <math.h>'
 543        'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
 544        '{'
 545        '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
 546        '}']
 547 mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') // создаём C-файл
 548 // Компилируем
 549 ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',TMPDIR+'/Makefile',TMPDIR+'/loader.sce');
 550 exec(TMPDIR+'/loader.sce') // пошаговая компоновка
 551 y0=0;
 552 t0=0;
 553 t=0:0.1:%pi;
 554 y = ode(y0,t0,t,'myode');
 555
 556  ]]></programlisting>
 557     </refsection>
 558     <refsection role="see also">
 559         <title>Смотрите также</title>
 560         <simplelist type="inline">
 561             <member>
 562                 <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>
 563             </member>
 564             <member>
 565                 <link linkend="ode_root">ode_root</link>
 566             </member>
 567             <member>
 568                 <link linkend="dassl">dassl</link>
 569             </member>
 570             <member>
 571                 <link linkend="impl">impl</link>
 572             </member>
 573             <member>
 574                 <link linkend="odedc">odedc</link>
 575             </member>
 576             <member>
 577                 <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>
 578             </member>
 579             <member>
 580                 <link linkend="csim">csim</link>
 581             </member>
 582             <member>
 583                 <link linkend="ltitr">ltitr</link>
 584             </member>
 585             <member>
 586                 <link linkend="rtitr">rtitr</link>
 587             </member>
 588             <member>
 589                 <link linkend="intg">intg</link>
 590             </member>
 591         </simplelist>
 592     </refsection>
 593     <refsection>
 594         <title>Литература</title>
 595         <para>
 596             Alan C. Hindmarsh, "lsode and lsodi, two new initial value ordinary
 597             differential equation solvers", ACM-Signum newsletter, vol. 15, no. 4
 598             (1980), pp. 10-11.
 599         </para>
 600     </refsection>
 601     <refsection>
 602         <title>Используемые функции</title>
 603         <para>
 604             Связанные процедуры могут быть найдены в директории
 605             SCI/modules/differential_equations/src/fortran:
 606             lsode.f lsoda.f lsodar.f
 607         </para>
 608     </refsection>
 609 </refentry>