scilab/modules/differential_equations/help/ru_RU/ode.xml

   1 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
   2 <!--
   3  * Scilab ( http://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
   4  * Copyright (C) 2008 - INRIA
   5  * Copyright (C) 2011 - DIGITEO - Michael Baudin
   6  * Copyright (C) 2012 - Scilab Enterprises - Adeline CARNIS
   7  * Copyright (C) 2016 - Samuel GOUGEON
   8  * Copyright (C) 2012 - 2016 - Scilab Enterprises
   9  *
  10  * This file is hereby licensed under the terms of the GNU GPL v2.0,
  11  * pursuant to article 5.3.4 of the CeCILL v.2.1.
  12  * This file was originally licensed under the terms of the CeCILL v2.1,
  13  * and continues to be available under such terms.
  14  * For more information, see the COPYING file which you should have received
  15  * along with this program.
  16  *
  17  -->
  18 <refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:id="ode" xml:lang="ru">
  19     <refnamediv>
  20         <refname>ode</refname>
  21         <refpurpose>
  22             программа решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  23         </refpurpose>
  24     </refnamediv>
  25     <refsynopsisdiv>
  26         <title>Последовательность вызова</title>
  27         <synopsis>
  28             y = ode(y0, t0, t, f)
  29             [y, w, iw] = ode([type,]y0, t0, t [,rtol [,atol]],f [,jac] [,w, iw])
  30             [y, rd, w, iw] = ode("root", y0, t0, t [,rtol [,atol]], f [,jac], ng, g [, w, iw])
  31             y = ode("discrete", y0, k0, kvect, f)
  32         </synopsis>
  33     </refsynopsisdiv>
  34     <refsection role="parameters">
  35         <title>Аргументы</title>
  36         <variablelist>
  37             <varlistentry>
  38                 <term>y0</term>
  39                 <listitem>
  40                     <para>
  41                         вектор или матрица вещественных значений, начальные условия.
  42                     </para>
  43                 </listitem>
  44             </varlistentry>
  45             <varlistentry>
  46                 <term>t0</term>
  47                 <listitem>
  48                     <para>
  49                         вещественный скаляр, начальное время.
  50                     </para>
  51                 </listitem>
  52             </varlistentry>
  53             <varlistentry>
  54                 <term>t</term>
  55                 <listitem>
  56                     <para>
  57                         вещественный вектор, моменты времени для которых находится решение.
  58                     </para>
  59                 </listitem>
  60             </varlistentry>
  61             <varlistentry>
  62                 <term>f</term>
  63                 <listitem>
  64                     <para>
  65                         внешняя функция (функция, строка или список),
  66                         правая сторона дифференциального  уравнения.
  67                     </para>
  68                 </listitem>
  69             </varlistentry>
  70             <varlistentry>
  71                 <term>type</term>
  72                 <listitem>
  73                     <para>
  74                         строка, тип используемой программы решения. Имеются следующие типы
  75                         программ решения:   <literal>"adams"</literal>,
  76                         <literal>"stiff"</literal>, <literal>"rk"</literal>,
  77                         <literal>"rkf"</literal>, <literal>"fix"</literal>,
  78                         <literal>"discrete"</literal>, <literal>"roots"</literal>.
  79                     </para>
  80                 </listitem>
  81             </varlistentry>
  82             <varlistentry>
  83                 <term>atol, rtol</term>
  84                 <listitem>
  85                     <para>
  86                         absolute and relative tolerances on the final solution
  87                         <varname>y</varname> (decimal numbers). If each is a
  88                         single value, it applies
  89                         to each component of <varname>y</varname>. Otherwise,
  90                         it must be a vector of same size as size(y), and
  91                         is applied element-wise to <varname>y</varname>.
  92                     </para>
  93                 </listitem>
  94             </varlistentry>
  95             <varlistentry>
  96                 <term>jac</term>
  97                 <listitem>
  98                     <para>
  99                         внешняя функция (функция, строка или список), якобиан функции
 100                         <varname>f</varname>.
 101                     </para>
 102                 </listitem>
 103             </varlistentry>
 104             <varlistentry>
 105                 <term>ng</term>
 106                 <listitem>
 107                     <para>целое число.</para>
 108                 </listitem>
 109             </varlistentry>
 110             <varlistentry>
 111                 <term>g</term>
 112                 <listitem>
 113                     <para>внешняя функция (функция, символьная строка или список).</para>
 114                 </listitem>
 115             </varlistentry>
 116             <varlistentry>
 117                 <term>k0</term>
 118                 <listitem>
 119                     <para>целое число (начальное время).</para>
 120                 </listitem>
 121             </varlistentry>
 122             <varlistentry>
 123                 <term>kvect</term>
 124                 <listitem>
 125                     <para>целочисленный вектор.</para>
 126                 </listitem>
 127             </varlistentry>
 128             <varlistentry>
 129                 <term>y</term>
 130                 <listitem>
 131                     <para>вещественный вектор или матрица (ВЫХОДНАЯ).</para>
 132                 </listitem>
 133             </varlistentry>
 134             <varlistentry>
 135                 <term>rd</term>
 136                 <listitem>
 137                     <para>вещественный вектор (ВЫХОДНОЙ).</para>
 138                 </listitem>
 139             </varlistentry>
 140             <varlistentry>
 141                 <term>w, iw</term>
 142                 <listitem>
 143                     <para>вещественные векторы (ВХОДНЫЕ/ВЫХОДНЫЕ).
 144                     See <link linkend="ode_optional_output">ode() optional output</link>
 145                     </para>
 146                 </listitem>
 147             </varlistentry>
 148         </variablelist>
 149     </refsection>
 150     <refsection role="description">
 151         <title>Описание</title>
 152         <para>
 153             <function>ode</function> решает явные обыкновенные
 154             дифференциальные уравнения, определённые как:
 155         </para>
 156         <para>
 157             <latex>
 158                 \begin{eqnarray}
 159                 \begin{array}{l}
 160                 \dfrac{dy}{dt} = f(t,y)\\
 161                 y(t_0)=y_0
 162                 \end{array}
 163                 \end{eqnarray}
 164             </latex>
 165         </para>
 166         <para>
 167             Это интерфейс для различных программ решения, в частности для ODEPACK.
 168         </para>
 169         <para>
 170             В данной справке описывается использование
 171             <function>ode</function> для стандартных явных систем ОДУ.
 172         </para>
 173         <para>
 174             Самый простой способ вызова <function>ode</function>:
 175             <code>y = ode(y0, t0, t, f)</code>, где <varname>y0</varname> -
 176             вектор начальных условий, <varname>t0</varname> - начальное время,
 177             <varname>t</varname> - вектор моментов времени, для которых вычисляется
 178             решение <varname>y</varname> и <varname>y</varname> - матрица векторов
 179             решения <literal>y=[y(t(1)),y(t(2)),...]</literal>.
 180         </para>
 181         <para>
 182             Входной аргумент <varname>f</varname> определяет правую сторону
 183             дифференциального уравнения первого порядка. Этот аргумент является
 184             функцией с определённым заголовком.
 185         </para>
 186         <itemizedlist>
 187             <listitem>
 188                 <para>
 189                     Если <varname>f</varname> является Scilab-функцией, то её
 190                     последовательность вызова должна быть:
 191                 </para>
 192                 <screen><![CDATA[
 193 ydot = f(t,y)
 194  ]]></screen>
 195                 <para>
 196                     где <literal>t</literal> - вещественный скаляр (время), а
 197                     <varname>y</varname> - вещественный вектор (состояние) и
 198                     <varname>ydot</varname> - вещественный вектор (производная первого
 199                     порядка dy/dt).
 200                 </para>
 201             </listitem>
 202             <listitem>
 203                 <para>
 204                     Если <varname>f</varname> - строка, то это - имя  компилированной
 205                     процедуры Fortran или функции C. Например, если вызывается
 206                     <code>ode(y0, t0, t, "fex")</code>, то вызывается подпрограмма
 207                     <literal>fex</literal>.
 208                 </para>
 209                 <para>
 210                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 211                 </para>
 212                 <screen><![CDATA[
 213 fex(n,t,y,ydot)
 214  ]]></screen>
 215                 <para>
 216                     где <varname>n</varname> - целое число, <varname>t</varname> --
 217                     скаляр двойной точности, <varname>y</varname> и
 218                     <varname>ydot</varname> - векторы двойной точности.
 219                 </para>
 220                 <para>
 221                     Функция C должна иметь заголовок:
 222                 </para>
 223                 <screen><![CDATA[
 224 fex(int *n,double *t,double *y,double *ydot)
 225  ]]></screen>
 226                 <para>
 227                     где <varname>t</varname> - время, <varname>y</varname> - состояние,
 228                     а <varname>ydot</varname> - производная состояния (dy/dt).
 229                 </para>
 230                 <para>
 231                     Эта внешняя функция может быть собрана способом, независящим от ОС,
 232                     используя <link linkend="ilib_for_link">ilib_for_link</link> и
 233                     динамически связана с Scilab с помощью функции
 234                     <link linkend="link">link</link>.
 235                 </para>
 236             </listitem>
 237             <listitem>
 238                 <para>
 239                     Может случиться, что симулятору <varname>f</varname> потребуются
 240                     дополнительные аргументы. В этом случае можно использовать следующую
 241                     возможность. Аргумент <varname>f</varname> может также быть
 242                     списком <literal>lst=list(simuf,u1,u2,...un)</literal>, где
 243                     <literal>simuf</literal> является Scilab-функцией с синтаксисом:
 244                     <literal>ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)</literal>, а
 245                     <literal>u1</literal>, <literal>u2</literal>, ...,
 246                     <literal>un</literal> - дополнительные аргументы, автоматически
 247                     передаваемые симулятору <literal>simuf</literal>.
 248                 </para>
 249             </listitem>
 250         </itemizedlist>
 251         <para>
 252             Функция <varname>f</varname> может возвращать вместо
 253             вектора матрицу<literal>p x q</literal>. С этой матричной нотацией
 254             решается система <literal>n=p+q</literal> ОДУ
 255             <literal>dY/dt=F(t,Y)</literal>, где <literal>Y</literal> - матрица
 256             <literal>p x q</literal>.  Затем начальные условия,
 257             <literal>Y0</literal>, должны быть так же матрицей
 258             <literal>p x q</literal>, а результат <function>ode</function> - матрицей
 259             <literal>p x q(T+1)</literal>
 260             <literal>[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]</literal>.
 261         </para>
 262         <para>
 263             Допуски <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> являются
 264             порогами для относительной и абсолютной оценённых ошибок. Оценённая
 265             ошибка <literal>y(i)</literal> равна:
 266             <literal>rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)</literal> и интегрирование выполняется
 267             пока эта ошибка мала для каждого из элементов состояния. Если
 268             <varname>rtol</varname> и/или <varname>atol</varname> является
 269             константой, то <literal>rtol(i)</literal> и/или <literal>atol(i)</literal>
 270             являются набором констант. Значения по умолчанию для
 271             <varname>rtol</varname> и <varname>atol</varname> соответственно равны
 272             <literal>rtol=1.d-5</literal> и <literal>atol=1.d-7</literal> для
 273             большинства программ решения, а для <literal>"rfk"</literal> и
 274             <literal>"fix"</literal>  <literal>rtol=1.d-3</literal> и
 275             <literal>atol=1.d-4</literal>.
 276         </para>
 277         <para>
 278             Для жёстких задач лучше указывать якобиан функции правой стороны в
 279             качестве необязательного аргумента <varname>jac</varname>.
 280             Якобиан является внешней функцией, т. е. функцией со специальным
 281             синтаксисом, либо именем процедуры Fortran или функции C
 282             (символьная строка) с определённой последовательностью вызова, либо
 283             списком.
 284         </para>
 285         <itemizedlist>
 286             <listitem>
 287                 <para>
 288                     Если <varname>jac</varname> является функцией, то синтаксис должен
 289                     быть <literal>J=jac(t,y)</literal>, где <literal>t</literal> --
 290                     вещественный скаляр (время), а <varname>y</varname> - вещественный
 291                     вектор (состояние). Результирующая матрица <literal>J</literal>
 292                     должна вычислять df/dx, т. е. <literal>J(k,i) = dfk/dxi</literal>, где
 293                     <literal>fk</literal> - <literal>k</literal>-тый элемент
 294                     <varname>f</varname>.
 295                 </para>
 296             </listitem>
 297             <listitem>
 298                 <para>
 299                     Если <varname>jac</varname> является символьной строкой, то она
 300                     ссылается на имя процедуры Fortran или функции C.
 301                 </para>
 302                 <para>
 303                     Процедура Fortran должна иметь заголовок:
 304                 </para>
 305                 <screen><![CDATA[
 306 subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)
 307 integer n,ml,mu,nrpd
 308 double precision t,y(*),J(*)
 309  ]]></screen>
 310                 <para>
 311                     Функция C должна иметь заголовок:
 312                 </para>
 313                 <screen><![CDATA[
 314 void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)
 315  ]]></screen>
 316                 <para>
 317                     В большинстве случаев не нужно ссылаться на <literal>ml</literal>,
 318                     <literal>mu</literal> и <literal>nrpd</literal>.
 319                 </para>
 320             </listitem>
 321             <listitem>
 322                 <para>
 323                     Если <varname>jac</varname> является списком, то для
 324                     <varname>f</varname> применяются те же договорённости.
 325                 </para>
 326             </listitem>
 327         </itemizedlist>
 328         <para>
 329             Необязательные аргументы <varname>w</varname> и
 330             <varname>iw</varname> являются векторами для хранения информации,
 331             возвращаемой подпрограммой интегрирования (см. <link linkend="ode_optional_output">ode_optional_output</link>).
 332             Когда эти векторы указываются с правой стороны  <function>ode</function>,
 333             интегрирование начинается заново с теми же параметрами, что и до
 334             остановки.
 335         </para>
 336         <para>
 337             Программам решения ODEPACK можно передать больше опций с помощью
 338             переменной  <literal>%ODEOPTIONS</literal>. See <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>.
 339         </para>
 340     </refsection>
 341     <refsection>
 342         <title>Программы решения</title>
 343         <para>
 344             Тип задачи, которую надо решить и используемый метод зависят от
 345             значения первого необязательного аргумента <varname>type</varname>,
 346             который может быть одной из следующих строк:
 347         </para>
 348         <variablelist>
 349             <varlistentry>
 350                 <term>&lt;не задано&gt;:</term>
 351                 <listitem>
 352                     <para>
 353                         Программа решения <literal>lsoda</literal> из пакета ODEPACK
 354                         вызывается по умолчанию. Она автоматически выбирает между
 355                         нежёстким  методом прогноза-исправления Адамса
 356                         (predictor-corrector Adams method) и жёстким методом обратной
 357                         дифференциальной формулой (ОДФ) ( Backward Differentiation
 358                         Formula (BDF) method). Изначально она применяет нежёсткий метод и
 359                         динамически проверяет данные для того, чтобы решить какой метод
 360                         использовать.
 361                     </para>
 362                 </listitem>
 363             </varlistentry>
 364             <varlistentry>
 365                 <term>"adams":</term>
 366                 <listitem>
 367                     <para>
 368                         Используется для нежёстких задач. Вызывается программа
 369                         решения <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она
 370                         использует метод Адамса.
 371                     </para>
 372                 </listitem>
 373             </varlistentry>
 374             <varlistentry>
 375                 <term>"stiff":</term>
 376                 <listitem>
 377                     <para>
 378                         Это для жёстких задач. Вызывается программа решения
 379                         <literal>lsode</literal> из пакета ODEPACK, и она использует метод
 380                         ОДФ.
 381                     </para>
 382                 </listitem>
 383             </varlistentry>
 384             <varlistentry>
 385                 <term>"rk":</term>
 386                 <listitem>
 387                     <para>Адаптивный метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4).</para>
 388                 </listitem>
 389             </varlistentry>
 390             <varlistentry>
 391                 <term>"rkf":</term>
 392                 <listitem>
 393                     <para>
 394                         Используется программа Шампайна и Уотса (Shampine и Watts),
 395                         основанная на методе Рунге-Кутты-Фелберга пары 4 и 5-го
 396                         порядка (RKF45). Она для нежёстких и среднежёстких задач,
 397                         когда получаемые вычисления не дороги. Этот метод не следует, в
 398                         общем случае, использовать, если пользователь требует
 399                         высокую точность.
 400                     </para>
 401                 </listitem>
 402             </varlistentry>
 403             <varlistentry>
 404                 <term>"fix":</term>
 405                 <listitem>
 406                     <para>
 407                         Та же программа решения, что и <literal>"rkf"</literal>, но
 408                         пользовательский интерфейс очень прост, т. е. программе решения
 409                         могут быть переданы только параметры <varname>rtol</varname> и
 410                         <varname>atol</varname>. Это самый простой метод для пробы.
 411                     </para>
 412                 </listitem>
 413             </varlistentry>
 414             <varlistentry>
 415                 <term>"root":</term>
 416                 <listitem>
 417                     <para>
 418                         Программа решения ОДУ с возможностью нахождения корней.
 419                         Используется программа решения <literal>lsodar</literal> из пакета
 420                         ODEPACK. Она является вариантом программы
 421                         решения <literal>lsoda</literal>, где она ищет корни заданной
 422                         векторной функции. См. справку по <link linkend="ode_root">ode_root</link>.
 423                     </para>
 424                 </listitem>
 425             </varlistentry>
 426             <varlistentry>
 427                 <term>"discrete":</term>
 428                 <listitem>
 429                     <para>
 430                         Моделирование дискретного времени. См. справку по <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>.
 431                     </para>
 432                 </listitem>
 433             </varlistentry>
 434         </variablelist>
 435     </refsection>
 436     <refsection role="examples">
 437         <title>Примеры</title>
 438         <para>
 439             В следующем примере мы решим обыкновенное дифференциальное уравнение
 440             <literal>dy/dt=y^2-y*sin(t)+cos(t)</literal> с начальным условием
 441             <literal>y(0)=0</literal>. Используем программу решения по умолчанию.
 442         </para>
 443         <programlisting role="example"><![CDATA[
 444 function ydot=f(t,y)
 445     ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)
 446 endfunction
 447 y0=0;
 448 t0=0;
 449 t=0:0.1:%pi;
 450 y = ode(y0,t0,t,f);
 451 plot(t,y)
 452  ]]></programlisting>
 453         <para>
 454             В следующем примере мы решаем уравнение <literal>dy/dt=A*y</literal>.
 455             Точное решение равно <literal>y(t)=expm(A*t)*y(0)</literal>, где
 456             <literal>expm</literal> - матричная экспонента.
 457             Неизвестное равно матрице  <literal>y(t)</literal> размером 2 на 1.
 458         </para>
 459         <programlisting role="example"><![CDATA[
 460 function ydot=f(t,y)
 461     ydot=A*y
 462 endfunction
 463 function J=Jacobian(t,y)
 464     J=A
 465 endfunction
 466 A=[10,0;0,-1];
 467 y0=[0;1];
 468 t0=0;
 469 t=1;
 470 ode("stiff",y0,t0,t,f,Jacobian)
 471 // Сравним с точным решением:
 472 expm(A*t)*y0
 473  ]]></programlisting>
 474         <para>
 475             В следующем примере мы решаем ОДУ <literal>dx/dt = A*x(t) +
 476                 B*u(t)
 477             </literal>
 478             с <literal>u(t)=sin(omega*t)</literal>.
 479             Обратите внимание, что дополнительные аргументы <varname>f</varname>:
 480             <literal>A</literal>, <literal>u</literal>, <literal>B</literal>,
 481             <literal>omega</literal> передаются в <varname>f</varname> в списке.
 482         </para>
 483         <programlisting role="example"><![CDATA[
 484 function xdot=linear(t,x,A,u,B,omega)
 485     xdot=A*x+B*u(t,omega)
 486 endfunction
 487 function ut=u(t,omega)
 488     ut=sin(omega*t)
 489 endfunction
 490 A=[1 1;0 2];
 491 B=[1;1];
 492 omega=5;
 493 y0=[1;0];
 494 t0=0;
 495 t=[0.1,0.2,0.5,1];
 496 ode(y0,t0,t,list(linear,A,u,B,omega))
 497  ]]></programlisting>
 498         <para>
 499             В следующем примере мы решим дифференциальное уравнение Риккати
 500             <literal>dX/dt=A'*X + X*A - X'*B*X + C</literal>, где начальное
 501             условие  <literal>X(0)</literal> является единичной матрицей 2 на 2.
 502         </para>
 503         <programlisting role="example"><![CDATA[
 504 function Xdot=ric(t,X,A,B,C)
 505     Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C
 506 endfunction
 507 A=[1,1;0,2];
 508 B=[1,0;0,1];
 509 C=[1,0;0,1];
 510 y0=eye(A);
 511 t0=0;
 512 t=0:0.1:%pi;
 513 X = ode(y0,t0,t,list(ric,A,B,C))
 514  ]]></programlisting>
 515         <para>
 516             В следующем примере мы решаме дифференциальное уравнение
 517             <literal>dY/dt=A*Y</literal>, где неизвестная <literal>Y(t)</literal>
 518             является матрицей 2 на 2.  Точное решение равно <literal>expm</literal>
 519             <literal>Y(t)=expm(A*t)</literal>, где <literal>expm</literal> --
 520             матричная экспонента.
 521         </para>
 522         <programlisting role="example"><![CDATA[
 523 function ydot=f(t,y,A)
 524     ydot=A*y;
 525 endfunction
 526 A=[1,1;0,2];
 527 y0=eye(A);
 528 t0=0;
 529 t=1;
 530 ode(y0,t0,t,list(f,A))
 531 // Сравнение с точным решением
 532 expm(A*t)
 533 ode("adams",y0,t0,t,f)
 534  ]]></programlisting>
 535     </refsection>
 536     <refsection>
 537         <title>С компилятором</title>
 538         <para>
 539             Следующий пример требует компилятор C.
 540         </para>
 541         <programlisting role="example"><![CDATA[
 542 // ---------- Простое одномерное ОДУ (внешняя функция на языке C)
 543 ccode=['#include <math.h>'
 544        'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
 545        '{'
 546        '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
 547        '}']
 548 mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') // создаём C-файл
 549 // Компилируем
 550 ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',[],TMPDIR+'/loader.sce');
 551 exec(TMPDIR+'/loader.sce') // пошаговая компоновка
 552 y0=0;
 553 t0=0;
 554 t=0:0.1:%pi;
 555 y = ode(y0,t0,t,'myode');
 556
 557  ]]></programlisting>
 558     </refsection>
 559     <refsection role="see also">
 560         <title>Смотрите также</title>
 561         <simplelist type="inline">
 562             <member>
 563                 <link linkend="odeoptions">odeoptions</link>
 564             </member>
 565             <member>
 566                 <link linkend="ode_optional_output">ode_optional_output</link>
 567             </member>
 568             <member>
 569                 <link linkend="ode_root">ode_root</link>
 570             </member>
 571             <member>
 572                 <link linkend="ode_discrete">ode_discrete</link>
 573             </member>
 574             <member>
 575                 <link linkend="dassl">dassl</link>
 576             </member>
 577             <member>
 578                 <link linkend="impl">impl</link>
 579             </member>
 580             <member>
 581                 <link linkend="odedc">odedc</link>
 582             </member>
 583             <member>
 584                 <link linkend="csim">csim</link>
 585             </member>
 586             <member>
 587                 <link linkend="ltitr">ltitr</link>
 588             </member>
 589             <member>
 590                 <link linkend="rtitr">rtitr</link>
 591             </member>
 592             <member>
 593                 <link linkend="intg">intg</link>
 594             </member>
 595         </simplelist>
 596     </refsection>
 597     <refsection role="bibliography">
 598         <title>Литература</title>
 599         <para>
 600             Alan C. Hindmarsh, "lsode and lsodi, two new initial value ordinary
 601             differential equation solvers", ACM-Signum newsletter, vol. 15, no. 4
 602             (1980), pp. 10-11.
 603         </para>
 604     </refsection>
 605     <refsection role="references">
 606         <title>Используемые функции</title>
 607         <para>
 608             Связанные процедуры могут быть найдены в директории
 609             SCI/modules/differential_equations/src/fortran:
 610             lsode.f lsoda.f lsodar.f
 611         </para>
 612     </refsection>
 613 </refentry>