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14     <refnamediv>
15         <refname>spec</refname>
16         <refpurpose>autovalores de matrizes e feixes</refpurpose>
17     </refnamediv>
18     <refsynopsisdiv>
19         <title>Seqüência de Chamamento</title>
20         <synopsis>evals=spec(A)
21             [R,diagevals]=spec(A)
22             
23             evals=spec(A,B)
24             [alpha,beta]=spec(A,B)
25             [alpha,beta,Z]=spec(A,B)
26             [alpha,beta,Q,Z]=spec(A,B)
27         </synopsis>
28     </refsynopsisdiv>
29     <refsection>
30         <title>Parâmetros</title>
31         <variablelist>
32             <varlistentry>
33                 <term>A</term>
34                 <listitem>
35                     <para>matriz quadrada de reais ou complexos </para>
36                 </listitem>
37             </varlistentry>
38             <varlistentry>
39                 <term>B</term>
40                 <listitem>
41                     <para>matriz quadrada de reais ou complexos com as mesmas dimensões
42                         que<literal> A</literal>
43                     </para>
44                 </listitem>
45             </varlistentry>
46             <varlistentry>
47                 <term>evals</term>
48                 <listitem>
49                     <para>vetor de reais ou complexos, os autovalores</para>
50                 </listitem>
51             </varlistentry>
52             <varlistentry>
53                 <term>diagevals</term>
54                 <listitem>
55                     <para>matriz diagonal de reais ou complexos (autovalores ao longo da
56                         diagonal)
57                     </para>
58                 </listitem>
59             </varlistentry>
60             <varlistentry>
61                 <term>alpha</term>
62                 <listitem>
63                     <para>vetor de reais ou complexos, al./be fornece os
64                         autovalores
65                     </para>
66                 </listitem>
67             </varlistentry>
68             <varlistentry>
69                 <term>beta</term>
70                 <listitem>
71                     <para>vetor de reais, al./be fornece os autovalores</para>
72                 </listitem>
73             </varlistentry>
74             <varlistentry>
75                 <term>R</term>
76                 <listitem>
77                     <para>matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores
78                         direitos da matriz 
79                     </para>
80                 </listitem>
81             </varlistentry>
82             <varlistentry>
83                 <term>Q</term>
84                 <listitem>
85                     <para>matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores
86                         esquerdos do feixe 
87                     </para>
88                 </listitem>
89             </varlistentry>
90             <varlistentry>
91                 <term>Z</term>
92                 <listitem>
93                     <para>matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores
94                         direitos do feixe
95                     </para>
96                 </listitem>
97             </varlistentry>
98         </variablelist>
99     </refsection>
100     <refsection>
101         <title>Descrição</title>
102         <variablelist>
103             <varlistentry>
104                 <term>evals=spec(A)</term>
105                 <listitem>
106                     <para>
107                         retorna no vetor <literal>evals</literal> os
108                         autovalores.
109                     </para>
110                 </listitem>
111             </varlistentry>
112             <varlistentry>
113                 <term>[R,diagevals] =spec(A)</term>
114                 <listitem>
115                     <para>
116                         retorna na matriz diagonal <literal>evals</literal> os
117                         autovalores e em <literal>R</literal> os autovetores
118                         direitos.
119                     </para>
120                 </listitem>
121             </varlistentry>
122             <varlistentry>
123                 <term>evals=spec(A,B)</term>
124                 <listitem>
125                     <para> retorna o espectro do feixe de matrizes A - s B, i.e. as
126                         raízes da matriz de polinômios s B - A.
127                     </para>
128                 </listitem>
129             </varlistentry>
130             <varlistentry>
131                 <term>[alpha,beta] = spec(A,B)</term>
132                 <listitem>
133                     <para>
134                         retorna o espectro do feixe de matrizes <literal>A- s
135                             B
136                         </literal>
137                         ,i.e. as raízes da matriz de polinômios <literal>A - s
138                             B
139                         </literal>
140                         .Auto valores generalizados alpha e beta são tais que a
141                         matriz <literal>A - alpha./beta B</literal> é uma matriz singular.
142                         Os autovalores são dados por <literal>al./be</literal> e se
143                         <literal>beta(i) = 0</literal> o i-ésimo autovalor está no infinito.
144                         (Para <literal>B = eye(A), alpha./beta</literal> é
145                         <literal>spec(A)</literal>). É usualmente representado pelo par
146                         (alpha,beta), já que há uma interpretação razoável para beta=0, e
147                         até mesmo para os dois sendo zero.
148                     </para>
149                 </listitem>
150             </varlistentry>
151             <varlistentry>
152                 <term>[alpha,beta,R] = spec(A,B)</term>
153                 <listitem>
154                     <para>
155                         retorna, ainda, a matriz <literal>R</literal> de autovetores
156                         direitos generalizados do feixe.
157                     </para>
158                 </listitem>
159             </varlistentry>
160             <varlistentry>
161                 <term>[al,be,Q,Z] = spec(A,B)</term>
162                 <listitem>
163                     <para>
164                         rretorna ainda a matriz <literal>Q</literal> e
165                         <literal>Z</literal> de autovetores esquerdos e direitos
166                         generalizados do feixe.
167                     </para>
168                 </listitem>
169             </varlistentry>
170         </variablelist>
171     </refsection>
172     <refsection>
173         <title>Referências</title>
174         <para>As computações de autovalores de matrizes são baseadas nas rotinas
175             Lapack
176         </para>
177         <itemizedlist>
178             <listitem>
179                 <para>DGEEV e ZGEEV quando as matrizes não são simétricas,</para>
180             </listitem>
181             <listitem>
182                 <para>DSYEV e ZHEEV quando as matrizes são simétricas.</para>
183             </listitem>
184         </itemizedlist>
185         <para>Uma matriz de complexos simétrica tem termos fora da diagonal
186             conjugados e termos diagonais reais.
187         </para>
188         <para>As computações de autovalores de feixes são baseadas nas rotinas
189             Lapack DGGEV e ZGGEV.
190         </para>
191     </refsection>
192     <refsection>
193         <title>Matrizes de reais e de complexos</title>
194         <para>Deve-se notar que o tipo das variáveis de saída, tais como evals ou
195             R por exemplo, não é necessariamente o mesmo das que das matrizes de
196             entrada A e B. No parágrafo seguinte, análisamos o tipo das variáveis de
197             saída no caso onde nos casos onde se computa os autovalores e autovetores
198             de uma única matriz A.
199         </para>
200         <itemizedlist>
201             <listitem>
202                 <para>Matriz A de reais</para>
203                 <itemizedlist>
204                     <listitem>
205                         <para>Simétrica</para>
206                         <para>Os autovetores e autovalores são reais.</para>
207                     </listitem>
208                     <listitem>
209                         <para>Não simétrica</para>
210                         <para>Os autovetores e autovalores são complexos.</para>
211                     </listitem>
212                 </itemizedlist>
213             </listitem>
214             <listitem>
215                 <para>Matriz A de complexos</para>
216                 <itemizedlist>
217                     <listitem>
218                         <para>Simétrica</para>
219                         <para>Os autovalores são reais, mas os autovetores são
220                             complexos.
221                         </para>
222                     </listitem>
223                     <listitem>
224                         <para>Não simétrica</para>
225                         <para>Os autovetores e autovalores são complexos.</para>
226                     </listitem>
227                 </itemizedlist>
228             </listitem>
229         </itemizedlist>
230     </refsection>
231     <refsection>
232         <title>Exemplos</title>
233         <programlisting role="example"><![CDATA[ 
234 // AUTOVALORES DA MATRIZ
235 A=diag([1,2,3]);
236 X=rand(3,3);
237 A=inv(X)*A*X;
238 spec(A)
239 //
240 x=poly(0,'x');
241 pol=det(x*eye()-A)
242 roots(pol)
243 //
244 [S,X]=bdiag(A);
245 clean(inv(X)*A*X)
246
247 // AUTOVALORES DO FEIXE
248 A=rand(3,3);
249 [al,be,R] = spec(A,eye(A));
250 al./be
251 clean(inv(R)*A*R)  //exibindo os autovalores (matriz genérica)
252 A=A+%i*rand(A);
253 E=rand(A);
254 roots(det(A-%s*E))   //caso de complexos
255  ]]></programlisting>
256     </refsection>
257     <refsection>
258         <title> Ver Também</title>
259         <simplelist type="inline">
260             <member>
261                 <link linkend="poly">poly</link>
262             </member>
263             <member>
264                 <link linkend="det">det</link>
265             </member>
266             <member>
267                 <link linkend="schur">schur</link>
268             </member>
269             <member>
270                 <link linkend="bdiag">bdiag</link>
271             </member>
272             <member>
273                 <link linkend="colcomp">colcomp</link>
274             </member>
275         </simplelist>
276     </refsection>
277 </refentry>