scilab/modules/special_functions/help/pt_BR/bessel.xml

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  20     <refnamediv xml:id="besseli">
  21         <refname>besseli</refname>
  22         <refpurpose>
  23             funções modificadas de Bessel do primeiro tipo (I<subscript>α</subscript>).
  24         </refpurpose>
  25     </refnamediv>
  26     <refnamediv xml:id="besselj">
  27         <refname>besselj</refname>
  28         <refpurpose>
  29             funções de Bessel do primeiro tipo (J<subscript>α</subscript>).
  30         </refpurpose>
  31     </refnamediv>
  32     <refnamediv xml:id="besselk">
  33         <refname>besselk</refname>
  34         <refpurpose>
  35             funções modificadas de Bessel do segundo tipo (K<subscript>α</subscript>).
  36         </refpurpose>
  37     </refnamediv>
  38     <refnamediv xml:id="bessely">
  39         <refname>bessely</refname>
  40         <refpurpose>
  41             funções de Bessel do segundo tipo (Y<subscript>α</subscript>).
  42         </refpurpose>
  43     </refnamediv>
  44     <refnamediv xml:id="besselh">
  45         <refname>besselh</refname>
  46         <refpurpose>funções de Bessel do terceiro tipo (também conhecidas como funções de Hankel)
  47         </refpurpose>
  48     </refnamediv>
  49     <refsynopsisdiv>
  50         <title>Seqüência de Chamamento</title>
  51         <synopsis>
  52             y = besseli(alpha, x [,ice])
  53             y = besselj(alpha, x [,ice])
  54             y = besselk(alpha, x [,ice])
  55             y = bessely(alpha, x [,ice])
  56             y = besselh(alpha, x)
  57             y = besselh(alpha, K, x [,ice])
  58         </synopsis>
  59     </refsynopsisdiv>
  60     <refsection>
  61         <title>Parâmetros</title>
  62         <variablelist>
  63             <varlistentry>
  64                 <term>x</term>
  65                 <listitem>
  66                     <para>vetor de reais ou complexos</para>
  67                 </listitem>
  68             </varlistentry>
  69             <varlistentry>
  70                 <term>alpha</term>
  71                 <listitem>
  72                     <para>vetor de reais </para>
  73                 </listitem>
  74             </varlistentry>
  75             <varlistentry>
  76                 <term>ice</term>
  77                 <listitem>
  78                     <para>flag (sinalizador) inteiro, com valor padrão 0 </para>
  79                 </listitem>
  80             </varlistentry>
  81             <varlistentry>
  82                 <term>K</term>
  83                 <listitem>
  84                     <para>inteiro, com valores possíveis 1 ou 2, a função do tipo de
  85                         Hankel.
  86                     </para>
  87                 </listitem>
  88             </varlistentry>
  89         </variablelist>
  90     </refsection>
  91     <refsection>
  92         <title>Descrição</title>
  93         <itemizedlist>
  94             <listitem>
  95                 <para>
  96                     <literal>besseli(alpha,x)</literal> computa as funções de Bessel
  97                     modificadas do primeiro tipo (I<subscript>α</subscript>), para ordem real
  98                     <varname>alpha</varname> e argumento <varname>x</varname>.
  99                     <literal>besseli(alpha,x,1)</literal> computa
 100                     <literal>besseli(alpha,x).*exp(-abs(real(x)))</literal>.
 101                 </para>
 102             </listitem>
 103             <listitem>
 104                 <para>
 105                     <literal>besselj(alpha,x)</literal> computa as funções de Bessel
 106                     do primeiro tipo (J<subscript>α</subscript>), para ordem real
 107                     <varname>alpha</varname> e argumento <varname>x</varname>.
 108                     <literal>besselj(alpha,x,1)</literal> computa
 109                     <literal>besselj(alpha,x).*exp(-abs(imag(x)))</literal>.
 110                 </para>
 111             </listitem>
 112             <listitem>
 113                 <para>
 114                     <literal>besselk(alpha,x)</literal> computa as funções de Bessel
 115                     modificadas do segundo tipo (K<subscript>α</subscript>), para ordem real
 116                     <varname>alpha</varname> e argumento <varname>x</varname>.
 117                     <literal>besselk(alpha,x,1)</literal> computa
 118                     <literal>besselk(alpha,x).*exp(x)</literal>.
 119                 </para>
 120             </listitem>
 121             <listitem>
 122                 <para>
 123                     <literal>bessely(alpha,x)</literal> computa as funções de Bessel do segundo
 124                     tipo (Y<subscript>α</subscript>), para ordem real <varname>alpha</varname>
 125                     e argumento <varname>x</varname>.
 126                     <literal>bessely(alpha,x,1)</literal> computa
 127                     <literal>bessely(alpha,x).*exp(-abs(imag(x)))</literal>.
 128                 </para>
 129             </listitem>
 130             <listitem>
 131                 <para>
 132                     <literal>besselh(alpha [,K] ,x)</literal> computa as funções de
 133                     Bessel do terceiro tipo (função de Hankel H1 ou H2, dependendo do
 134                     <literal>K</literal>), para ordem real <varname>alpha</varname> e
 135                     argumentot <varname>x</varname>. Se omitido, <literal>K</literal> é
 136                     suposto como sendo 1. <literal>besselh(alpha,1,x,1)</literal> computa
 137                     <literal>besselh(alpha,1,x).*exp(-%i*x)</literal> e
 138                     <literal>besselh(alpha,2,x,1)</literal> computa
 139                     <literal>besselh(alpha,2,x).*exp(%i*x)</literal>
 140                 </para>
 141             </listitem>
 142         </itemizedlist>
 143     </refsection>
 144     <refsection>
 145         <title>Observações </title>
 146         <para>
 147             Se <varname>alpha</varname> e <varname>x</varname> são arrays de
 148             mesmo tamanho, o resultado <literal>y</literal> também terá este tamanho.
 149             Se uma entrada é um escalar, ela é expandida para o tamanho da outra
 150             entrada. Se uma entrada é um vetor linha e a outra é um vetor coluna, o
 151             resultado <literal>y</literal> é um table 2-dimensional ("tabela") de
 152             valores de funções.
 153         </para>
 154         <para>
 155             As funções de Bessel Y<subscript>α</subscript> e J<subscript>α</subscript>
 156             são duas soluções independentes da equação diferencial de Bessel:
 157         </para>
 158         <latex style="display" alt="x^2.(d^2y/d^2x) + x.dy/dx + (x^2 - alpha^2).y = 0,  alpha ≥ 0">
 159             {x^2} \cdot {{d^2 y} \over {dx^2}} + x \cdot {{dy} \over {dx}} + (x^2 - \alpha^2) \cdot y = 0,
 160             \quad\alpha\ge0
 161         </latex>
 162         <para>
 163             As funções modificadas de Bessel K<subscript>α</subscript> e I<subscript>α</subscript>
 164             são duas soluções independentes para a equação diferencial de Bessel :
 165         </para>
 166         <latex style="display" alt="x^2.(d^2y/d^2x) + x.dy/dx + (alpha^2 - x^2).y = 0,  alpha ≥ 0">
 167             {x^2} \cdot {{d^2 y} \over {dx^2}} + x \cdot {{dy} \over {dx}} + (\alpha^2 - x^2) \cdot y = 0,
 168             \quad\alpha\ge0
 169         </latex>
 170         <para>
 171             As funções de Hankel de primeiro e segundo tipos
 172             H<superscript>2</superscript><subscript>α</subscript> e
 173             H<superscript>2</superscript><subscript>α</subscript>, são combinações
 174             lineares das funções de Bessel de primeiro e segundo tipos:
 175         </para>
 176         <latex style="display" alt="H^1_α(z) = J_α(z) + i \cdot Y_α(z)  \n
 177 H^2_α(z) = J_α(z) - i \cdot Y_α(z)">
 178             H^1_{\alpha}(z) = J_{\alpha}(z) + i \cdot Y_{\alpha}(z) \\
 179             H^2_{\alpha}(z) = J_{\alpha}(z) - i \cdot Y_{\alpha}(z)
 180         </latex>
 181     </refsection>
 182
 183     <refsection>
 184         <title>Exemplos</title>
 185         <programlisting role="example"><![CDATA[
 186 //  Funções I de Bessel
 187 // ==================
 188 x = linspace(0.01,10,5000)';
 189 clf()
 190 subplot(2,1,1)
 191 plot2d(x,besseli(0:4,x), style=2:6)
 192 legend('I'+string(0:4),2);
 193 xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do primeiro tipo")
 194 subplot(2,1,2)
 195 plot2d(x,besseli(0:4,x,1), style=2:6)
 196 legend('I'+string(0:4),1);
 197 xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do primeiro tipo escaladas")
 198  ]]></programlisting>
 199         <scilab:image>
 200             x = linspace(0.01,10,5000)';
 201             clf()
 202             subplot(2,1,1)
 203             plot2d(x,besseli(0:4,x), style=2:6)
 204             legend('I'+string(0:4),2);
 205             xtitle("Some modified Bessel functions of the first kind")
 206             subplot(2,1,2)
 207             plot2d(x,besseli(0:4,x,1), style=2:6)
 208             legend('I'+string(0:4),1);
 209             xtitle("Some modified scaled Bessel functions of the first kind")
 210         </scilab:image>
 211         <para/>
 212         <programlisting role="example"><![CDATA[
 213
 214 // Funções J de Bessel
 215 // =================
 216 x = linspace(0,40,5000)';
 217 clf()
 218 plot2d(x,besselj(0:4,x), style=2:6, leg="J0@J1@J2@J3@J4")
 219 legend('I'+string(0:4),1);
 220 xtitle("Algumas funções de Bessel do primeiro tipo")
 221  ]]></programlisting>
 222         <scilab:image>
 223             x = linspace(0,40,5000)';
 224             plot2d(x,besselj(0:4,x), style=2:6, leg="J0@J1@J2@J3@J4")
 225             legend('I'+string(0:4),1);
 226             xtitle("Some Bessel functions of the first kind")
 227         </scilab:image>
 228
 229         <para/>
 230         <programlisting role="example"><![CDATA[
 231 // Usando o fato de que J_(1/2)(x) = sqrt(2/(x pi)) sin(x)
 232 // Para comparar o algoritmo de besselj(0.5,x) com uma fórmula mais direta
 233 x = linspace(0.1,40,5000)';
 234 y1 = besselj(0.5, x);
 235 y2 = sqrt(2 ./(%pi*x)).*sin(x);
 236 er = abs((y1-y2)./y2);
 237 ind = find(er > 0 & y2 ~= 0);
 238 clf()
 239 subplot(2,1,1)
 240 plot2d(x,y1,style=2)
 241 xtitle("besselj(0.5,x)")
 242 subplot(2,1,2)
 243 plot2d(x(ind), er(ind), style=2, logflag="nl")
 244 xtitle("Erro relativo entre as duas fórmulas para besselj(0.5,x)")
 245  ]]></programlisting>
 246         <scilab:image><![CDATA[
 247    x = linspace(0.1,40,5000)';
 248    y1 = besselj(0.5, x);
 249    y2 = sqrt(2 ./(%pi*x)).*sin(x);
 250    er = abs((y1-y2)./y2);
 251    ind = find(er > 0 & y2 ~= 0);
 252    clf()
 253    subplot(2,1,1)
 254    plot2d(x,y1,style=2)
 255    xtitle("besselj(0.5,x)")
 256    subplot(2,1,2)
 257    plot2d(x(ind), er(ind), style=2, logflag="nl")
 258    xtitle("relative error between 2 formulae for besselj(0.5,x)")
 259  ]]></scilab:image>
 260
 261         <para/>
 262         <programlisting role="example"><![CDATA[
 263 // Funções K de Bessel
 264 // =================
 265 x = linspace(0.01,10,5000)';
 266 clf()
 267 subplot(2,1,1)
 268 plot2d(x,besselk(0:4,x), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
 269 legend('K'+string(0:4),1);
 270 xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do segundo tipo")
 271 subplot(2,1,2)
 272 plot2d(x,besselk(0:4,x,1), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
 273 legend('K'+string(0:4),1);
 274 xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do segundo tipo escaladas")
 275  ]]></programlisting>
 276         <scilab:image>
 277             x = linspace(0.01,10,5000)';
 278             clf()
 279             subplot(2,1,1)
 280             plot2d(x,besselk(0:4,x), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
 281             legend('K'+string(0:4),1);
 282             xtitle("Some modified Bessel functions of the second kind")
 283             subplot(2,1,2)
 284             plot2d(x,besselk(0:4,x,1), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
 285             legend('K'+string(0:4),1);
 286             xtitle("Some modified scaled Bessel functions of the second kind")
 287         </scilab:image>
 288
 289         <para/>
 290         <programlisting role="example"><![CDATA[
 291 // Funções Y de Bessel
 292 // =================
 293 x = linspace(0.1,40,5000)'; // funções Y de Bessel não possuem limite para x -> 0+
 294 clf()
 295 plot2d(x,bessely(0:4,x), style=0:4, rect=[0,-1.5,40,0.6])
 296 legend('Y'+string(0:4),4);
 297 xtitle("Algumas funções de Bessel do segundo tipo")
 298  ]]></programlisting>
 299         <scilab:image>
 300             x = linspace(0.1,40,5000)'; // Y Bessel functions are unbounded  for x -> 0+
 301             clf()
 302             plot2d(x,bessely(0:4,x), style=0:4, rect=[0,-1.5,40,0.6])
 303             legend('Y'+string(0:4),4);
 304             xtitle("Some Bessel functions of the second kind")
 305         </scilab:image>
 306
 307         <para/>
 308         <programlisting role="example"><![CDATA[
 309 // Funções H de Bessel
 310 // =================
 311 x=-4:0.025:2; y=-1.5:0.025:1.5;
 312 [X,Y] = ndgrid(x,y);
 313 H = besselh(0,1,X+%i*Y);
 314 clf();f=gcf();
 315 xset("fpf"," ")
 316 f.color_map=jetcolormap(16);
 317 contour2d(x,y,abs(H),0.2:0.2:3.2,strf="034",rect=[-4,-1.5,3,1.5])
 318 legends(string(0.2:0.2:3.2),1:16,"ur")
 319 xtitle("Curvas de nível de |H1(0,z)|")
 320  ]]></programlisting>
 321         <scilab:image>
 322             x=-4:0.025:2; y=-1.5:0.025:1.5;
 323             [X,Y] = ndgrid(x,y);
 324             H = besselh(0,1,X+%i*Y);
 325             clf();f=gcf();
 326             xset("fpf"," ")
 327             f.color_map=jetcolormap(16);
 328             contour2d(x,y,abs(H),0.2:0.2:3.2,strf="034",rect=[-4,-1.5,3,1.5])
 329             legends(string(0.2:0.2:3.2),1:16,"ur")
 330             xtitle("Level curves of |H1(0,z)|")
 331         </scilab:image>
 332     </refsection>
 333     <refsection>
 334         <title>Autores</title>
 335         <simplelist type="vert">
 336             <member>Amos, D. E., (SNLA)</member>
 337             <member>Daniel, S. L., (SNLA)</member>
 338             <member>Weston, M. K., (SNLA)</member>
 339         </simplelist>
 340     </refsection>
 341     <refsection>
 342         <title>Função Usada</title>
 343         <para>Os códigos-fontes podem ser achados em SCI/modules/special_functions/src/fortran/slatec e SCI/modules/special_functions/src/fortran</para>
 344         <para>Slatec : dbesi.f, zbesi.f, dbesj.f, zbesj.f, dbesk.f, zbesk.f,
 345             dbesy.f, zbesy.f, zbesh.f
 346         </para>
 347         <para>Drivers para estender a área de definição (Serge Steer INRIA):
 348             dbesig.f, zbesig.f, dbesjg.f, zbesjg.f, dbeskg.f, zbeskg.f, dbesyg.f,
 349             zbesyg.f, zbeshg.f
 350         </para>
 351     </refsection>
 352 </refentry>