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3 <MAN>
4   <LANGUAGE>eng</LANGUAGE>
5   <TITLE>pca</TITLE>
6   <TYPE>Scilab Function  </TYPE>
7   <DATE>$LastChangedDate$</DATE>
8   <SHORT_DESCRIPTION name="pca">  Principal components analysis</SHORT_DESCRIPTION>
9
10   <CALLING_SEQUENCE>
11   <CALLING_SEQUENCE_ITEM>[lambda,facpr,comprinc] = pca(x,N)</CALLING_SEQUENCE_ITEM>
12   </CALLING_SEQUENCE>
13
14   <PARAM>
15   <PARAM_INDENT>
16
17     <PARAM_ITEM>
18     <PARAM_NAME>x</PARAM_NAME>
19     <PARAM_DESCRIPTION>
20        <SP>:  is a nxp (n  individuals, p variables) real matrix</SP>
21
22     </PARAM_DESCRIPTION>
23     </PARAM_ITEM>
24
25     <PARAM_ITEM>
26     <PARAM_NAME>N</PARAM_NAME>
27     <PARAM_DESCRIPTION>
28
29       <SP> : is a 2x1 integer vector. Its coefficients point to
30          the eigenvectors  corresponding to the  eigenvalues
31          of the correlation  matrix pxp  ordered by  decreasing
32          values of eigenvalues.  If  N is  missing, we suppose
33          N=[1 2].</SP>
34
35     </PARAM_DESCRIPTION>
36     </PARAM_ITEM>
37
38     <PARAM_ITEM>
39     <PARAM_NAME>lambda</PARAM_NAME>
40     <PARAM_DESCRIPTION>
41        <SP>: is  a px2  numerical  matrix.  In the  first
42          column we  find the eigenvalues of  V, where V
43          is the correlation pxp matrix and in the second
44          column are the ratios of the corresponding 
45          eigenvalue over the sum of eigenvalues.</SP>
46
47     </PARAM_DESCRIPTION>
48     </PARAM_ITEM>
49
50     <PARAM_ITEM>
51     <PARAM_NAME>facpr</PARAM_NAME>
52     <PARAM_DESCRIPTION>
53       <SP> : are the  principal  factors: eigenvectors  of
54          V. Each column is an eigenvector element of the
55          dual of <VERB>R^p</VERB>.</SP>
56
57     </PARAM_DESCRIPTION>
58     </PARAM_ITEM>
59
60     <PARAM_ITEM>
61     <PARAM_NAME>comprinc</PARAM_NAME>
62     <PARAM_DESCRIPTION>
63        <SP>: are the  principal components.  Each column
64          (c_i=Xu_i)  of   this  nxn  matrix   is  the
65          M-orthogonal projection of  individuals onto
66          principal  axis.  Each one of this  columns
67          is a linear combination  of the variables
68          x1,   ...,xp  with   maximum   variance  under
69          condition <VERB>u'_iM^(-1)u_i=1</VERB></SP>
70     </PARAM_DESCRIPTION>
71     </PARAM_ITEM>
72   </PARAM_INDENT>
73   </PARAM>
74  
75   <DESCRIPTION>
76 <P>
77    This  function  performs  several  computations  known  as
78    "principal  component analysis".  It  includes drawing  of
79 "correlations  circle", i.e.  in the  horizontal  axis the
80 correlation   values   r(c1;xj)   and  in   the   vertical
81 r(c2;xj). It is an extension of the pca function.
82 </P>
83 <P>
84 The  idea  behind this  method  is  to  represent in  an
85 approximative  manner a  cluster of  n individuals  in a
86 smaller  dimensional subspace.  In order  to do  that, it
87 projects the cluster onto a subspace.  The choice of the
88 k-dimensional projection subspace is  made in such a way
89 that  the distances  in  the projection  have a  minimal
90 deformation: we are looking for a k-dimensional subspace
91 such that the squares of the distances in the projection
92 is  as  big  as  possible  (in  fact  in  a  projection,
93 distances can only stretch).  In other words, inertia of
94 the projection  onto the k dimensional  subspace must be
95 maximal.
96 </P>
97   </DESCRIPTION>
98
99   <AUTHOR>
100     Carlos Klimann
101   </AUTHOR>
102
103   <BIBLIO>
104     <P>Saporta, Gilbert, Probabilites,  Analyse des
105 Donnees et Statistique, Editions Technip, Paris, 1990.</P>
106   </BIBLIO>
107
108
109 </MAN>