* Bug #13810 fixed - householder(v, k*v) returned column of %nan. Input parameters...
[scilab.git] / scilab / modules / linear_algebra / help / fr_FR / factorization / householder.xml
index fffe07c..6158e2f 100644 (file)
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 <refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:lang="fr" xml:id="householder">
     <refnamediv>
     </refnamediv>
     <refsynopsisdiv>
         <title>Séquence d'appel</title>
-        <synopsis>u=householder(v [,w])</synopsis>
+        <synopsis>         householder         // demo</synopsis>
+        <synopsis> u     = householder(v [,w])</synopsis>
+        <synopsis>[u, H] = householder(v [,w])</synopsis>
     </refsynopsisdiv>
-    <refsection>
+    <refsection role="arguments">
         <title>Paramètres</title>
         <variablelist>
             <varlistentry>
                 <term>w  </term>
                 <listitem>
                     <para>
-                        vecteur colonne réel ou complexe de même taille que <literal>v</literal> (la valeur par défaut est <literal>eye(v)</literal>)
+                        vecteur colonne réel ou complexe de même taille que <literal>v</literal>
+                        La valeur par défaut est <literal>eye(v)</literal> (axe (Ox)).
                     </para>
                 </listitem>
             </varlistentry>
             <varlistentry>
                 <term>u  </term>
                 <listitem>
-                    <para>vecteur colonne réel ou complexe
+                    <para>
+                        vecteur unitaire résidant dans le plan <literal>(v,w)</literal> et orthogonal
+                        à la bissectrice de <literal>(v,w)</literal>.
+                        Colonne de nombres réels ou complexes, de taille size(v).
+                    </para>
+                </listitem>
+            </varlistentry>
+            <varlistentry>
+                <term>H</term>
+                <listitem>
+                    <para>
+                        Matrice orthogonale de réflexion de Householder : <literal>H= eye() - 2*u*u'</literal>.
+                        <varname>H</varname> est telle que <literal>inv(H)==H</literal>,
+                        <literal>H'==H</literal>, et <literal>det(H)==-1</literal>.
+                    </para>
+                    <para>
+                        Si <varname>v</varname> et <varname>w</varname> sont des vecteurs réels,
+                        <literal>H*v</literal> est colinéaire à <varname>w</varname>.
                     </para>
                 </listitem>
             </varlistentry>
         </variablelist>
     </refsection>
     <refsection>
-        <title>Description</title>
+        <title role="description">Description</title>
         <para>
-            Etant donnés deux vecteurs colonnes <literal>v</literal> et <literal>w</literal> de même taille, <literal>householder(v,w)</literal> renvoie un vecteur normé <literal>u</literal>, tel que 
-            <literal>(eye()-2*u*u')*v</literal> est colinéaire à <literal>w</literal>.
-            <literal>(eye()-2*u*u')</literal> est la matrice de la transformation de Householder correspondante.
+            <literal>householder(..)</literal> calcule le vecteur unitaire <varname>u</varname>
+            résidant dans le plan <literal>(v,w)</literal> et orthogonal à la bissectrice de
+            <literal>(v,w)</literal>.
         </para>
         <para>
-            La valeur par défaut de <literal>w</literal> est <literal> eye(v)</literal>. Dans ce cas le vecteur <literal> (eye()-2*u*u')*v</literal> est égal à <literal> eye(v)*norm(v)</literal>.
+            Si <varname>v</varname> et <varname>w</varname> sont proportionels :
+            <itemizedlist>
+                <listitem>
+                    S'ils sont opposés, <literal>u= v/|v|</literal> est retourné.
+                </listitem>
+                <listitem>
+                    S'ils sont à coordonnées réelles et sont dans la même direction,
+                    <varname>u</varname> est choisi dans le
+                    plan (xOy) avec a priori <literal>u(1)>0</literal>, et orthogonal à
+                    <varname>v</varname> (<literal>u'*v==0</literal>). Cependant,
+                    <itemizedlist>
+                        <listitem>
+                            S'ils sont selon (Ox), <literal>u = (Oy+)</literal> est retourné.
+                        </listitem>
+                        <listitem>
+                            S'ils sont scalaires (et de mêmes signes),
+                            le sous-espace orthogonal est réduit à <literal>{0}</literal> qui n'est
+                            pas normalisable :
+                            <varname>u</varname> et <varname>H</varname> sont mis à <literal>%nan</literal>.
+                        </listitem>
+                    </itemizedlist>
+                </listitem>
+            </itemizedlist>
         </para>
+        
+        <para>
+            Si la matrice de réflexion <varname>H</varname> correspondante est calculée,
+            pour tout point A de coordonnées <literal>a</literal> en colonne, <literal>H*a</literal>
+            sont les coordonnées de l'image de A réfléchie sur P.
+        </para>
+        <note>
+            Si <varname>v</varname> ou/et <varname>w</varname> sont des vecteurs ligne,
+            ils sont préalablement transposés en colonnes.
+        </note>
+        <warning>
+            Si <varname>v</varname> ou/et <varname>w</varname> sont <literal>[]</literal>,
+            <varname>u</varname> et <varname>H</varname> valent alors <literal>[]</literal>.
+        </warning>
+    </refsection>
+    <refsection role="examples">
+        <title>Exemples</title>
+        <programlisting role="example"><![CDATA[
+a = [ rand(1,1) 0  0 ]';
+[ra hm] = householder(a);
+[a ra hm*a ]
+norm(ra)
+
+b = rand(3,1);
+[rb, hm] = householder(b);
+[b rb eye(b) clean(hm*b) ]
+norm(rb)
+
+[rb2b, hm] = householder(b, 2*b);
+[b rb2b clean(hm*b ./ b) ]  // last column must be uniform
+norm(rb2b)                  // must be 1
+
+c = rand(3,1);
+[rbc, hm] = householder(b,c);
+norm(rbc)          // must be 1
+hm*b ./c           // must be uniform
+
+d = b + %i*c;
+e = rand(3,1) + %i*rand(3,1);
+[rde, hm] = householder(d,e);
+norm(rbc)               // must be 1
+clean(inv(hm) - hm)     // must be zeros(3,3)
+clean(hm' - hm)         // must be zeros(3,3)
+clean(det(hm))          // must be -1
+ ]]></programlisting>
+        
+        <para>APPLICATION : Image réfléchie d'un objet</para>
+        <programlisting role="example"><![CDATA[
+// (OA) = [0 0 1] se réfléchit en O en (OB) = [ 1 1 0.3 ]:
+[n, H] = householder([0 0 1]', [ 1 1 0.3 ]');
+// "n" est la normale au plan réflecteur
+
+// Objet source :
+u = linspace(0,2*%pi,40);
+v = linspace(0,2*%pi,20);
+Xe = (cos(u).*u)'*(1+cos(v)/2)+10;
+Ye = (u/2)'*sin(v);
+Ze = (sin(u).*u)'*(1+cos(v)/2);
+
+// Image réfléchie de l'object :
+P = [ Xe(:)' ; Ye(:)' ; Ze(:)'];
+Pr = H*P;
+Xr = matrix(Pr(1,:),40,-1);
+Yr = matrix(Pr(2,:),40,-1);
+Zr = matrix(Pr(3,:),40,-1);
+
+// Plan réflecteur contnant O : n(1).x + n(2).y + n(3).z = 0:
+//  Grille d'espace :
+x = linspace(min([Xe(:);Xr(:)]), max([Xe(:);Xr(:)]),20);
+y = linspace(min([Ye(:);Yr(:)]), max([Ye(:);Yr(:)]),20);
+[X, Y] = meshgrid(x,y);
+//  Création du plan:
+deff("z = mirror(x,y,n)","z = -n(1)/n(3)*x - n(2)/n(3)*y")
+Zm = mirror(X,Y,n);
+
+// Illustration graphique :
+clf
+drawlater
+f = gcf();
+f.color_map = [ 0.8 0.8 0.8 ; jetcolormap(100)];
+surf(Xe,Ye,Ze)
+surf(X,Y,Zm)
+surf(Xr,Yr,Zr)
+a = gca();
+a.isoview = "on";
+a.rotation_angles = [74 123];
+a.children.color_flag = 0;
+a.children.color_mode = 0;
+a.children(1).foreground = color("red");
+a.children(2).foreground = 1;
+a.children(3).foreground = color("green");
+drawnow
+ ]]></programlisting>
+        <scilab:image>
+            householder();
+        </scilab:image>
     </refsection>
     <refsection role="see also">
         <title>Voir aussi</title>
             </member>
         </simplelist>
     </refsection>
+    <refsection role="history">
+        <title>Historique</title>
+        <revhistory>
+            <revision>
+                <revnumber>6.0</revnumber>
+                <revdescription>
+                    <para>Matrice de réflexion de Householder fournie en second paramètre de sortie.
+                        Demo householder() ajoutée. Page d'aide revue.
+                    </para>
+                </revdescription>
+            </revision>
+        </revhistory>
+    </refsection>
 </refentry>